Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 30 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 5,5 m/s². На якій відстані від точки старту поліцейський автомобіль наздожене порушника? Знайдіть d.

v_car = 30 m/sa_police = 5,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 34 m/s² протягом 2 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Через скільки часу після старту вона впаде на землю? Знайдіть t.

a = 34 m/s²t₁ = 2 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 4 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 4 kgθ = 45°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 1 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 38 m/s, і він має впасти на відстані 120 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 38 m/sR = 120 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 30° до горизонту з вершини скелі висотою 25 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 13 m/sθ = 30°h = 25 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 125 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 125 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 1,2 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 1,2 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 40° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 2 m вздовж площини.

θ = 40°μ = 0,3d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 4000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 4 kgh = 2,5 mL = 3 mμ = 0,3k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 4,5 kg, що рухається зі швидкістю 6 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 1000 kg, що їде на схід зі швидкістю 17 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 2000 kg, що їде на північ зі швидкістю 11 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.

m₁ = 1000 kgv₁ = 17 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 11 m/s (N)

θ = °

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,6 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,6 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 1,4 s і амплітудою 13 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 13 cm до зміщення 3,25 cm?

T = 1,4 sA = 13 cmx = 3,25 cm

t = s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 80 дБ на відстані 10 м від нього. Знайдіть рівень β₂ на відстані 100 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.

β₁ = 80 dBr₁ = 10 mr₂ = 100 m

β₂ = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 500 нм падає на дві щілини на відстані 0,5 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 1,5 м. Знайдіть відстань y₂ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 2.

λ = 500 nmd = 0,5 mmL = 1,5 mm = 2

y₂ = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 327,3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·30/5,5 = 10,91 s

Шлях

d = v·t = 30·10,91 = 327,3 m

Відповідь

d = 327,3 m

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 60 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: t = 16,8 s

Активна ділянка

v₁ = 34·2 = 68 m/s

h₁ = ½·34·2² = 68 m

Вільний політ до землі

Розв’яжіть −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² і візьміть додатний корінь.

t₂ = (68 + √(68² + 2·9,81·68))/9,81 = 14,8 s

t = 2 + 14,8 = 16,8 s

Відповідь

t = 16,8 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,856 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 45° − 0,3·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,2121) = 4,856 m/s²

Відповідь

a = 4,856 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,401 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9,81 − 4,905)/3,5 = 1,401 m/s²

Відповідь

a = 1,401 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 27,31 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·120/38² = 0,8152

Кут

2θ = 54,61° → θ = 27,31°

Відповідь

θ = 27,31°

Інший розв’язок 90° − θ = 62,69°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 33,95 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 30° = 11,26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 30° = 6,5 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 25 + 6,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,5 + √(42,25 + 490,5))/9,81 = 3,015 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 11,26·3,015 = 33,95 m

Відповідь

x = 33,95 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 19,18 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·125) = 19,18 m/s

Відповідь

v_max = 19,18 m/s (69,05 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 3,431 m/s

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,2) = 3,431 m/s

Відповідь

v_min = 3,431 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,026 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·2·(0,6428 − 0,3·0,766)) = 4,026 m/s

Відповідь

v = 4,026 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,603 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 39,24·(2,5 − 0,3·3) = 62,78 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,6) = 5,603 m/s

Відповідь

v = 5,603 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 6,353 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (4,5 − 4)/(4,5 + 4)·6 = 0,3529 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 4)·6 = 6,353 m/s

Відповідь

v′₂ = 6,353 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: θ = 52,31 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Складові імпульсу

p_x = 1000·17 = 17000 kg·m/s

p_y = 2000·11 = 22000 kg·m/s

Напрямок

tan θ = p_y/p_x = 1,294 → θ = 52,31°

Відповідь

θ = 52,31°

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,6361 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,6/2π)² = 0,6361 m

Відповідь

L = 0,6361 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,2937 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/1,4 = 4,488 rad/s

Виразіть час

0,25 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,25) = 1,318 rad

t = 1,318/4,488 = 0,2937 s

Відповідь

t = 0,2937 s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β₂ = 60 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Відношення інтенсивностей

I₂/I₁ = (10/100)² = 0,01

Новий рівень

β₂ = 80 + 10·log₁₀(0,01) = 60 dB

Відповідь

β₂ = 60 dB

Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₂ = 3 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·1,5/(0,5 × 10⁻³) = 1,5 mm

Смуга номер 2

y₂ = 2·1,5 = 3 mm

Відповідь

y₂ = 3 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics