Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 80 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 6 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 80 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 36 m/s² протягом 2,5 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Через скільки часу після старту вона впаде на землю? Знайдіть t.

a = 36 m/s²t₁ = 2,5 sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Вантажі масами 10 kg і 2 kg висять по обидва боки легкого блока без тертя, з’єднані легкою ниткою. Систему відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 10 kgm₂ = 2 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 4 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 60° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 26 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 5 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 13 m/sθ = 15°h = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Інженер-дорожник хоче, щоб автомобілі проходили поворот радіусом 330 m зі швидкістю 80 km/h без опори на тертя. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть кут нахилу полотна θ.

r = 330 mv = 80 km/hg = 9,81 m/s²

θ = °

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,4 kg на легкій нитці завдовжки 1,2 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 10 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,4 kgr = 1,2 mv_bottom = 10 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 30 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,5. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 30 km/hμ = 0,5g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Пружину жорсткістю 3000 N/m біля підніжжя схилу 35° стискають на 15 cm бруском масою 5 kg і відпускають. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і схилом 0,3. На яку відстань d угору схилом від точки відпускання переміститься брусок до зупинки? (Нехтуйте короткою ділянкою, на якій діє пружина, тобто враховуйте тертя й силу тяжіння на всій відстані d.)

m = 5 kgk = 3000 N/mx = 15 cmθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2,5 kg, що рухається зі швидкістю 5 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 0,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,6 kg ударяється об стіну зі швидкістю 15 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 5 m/s. Контакт триває 10 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,6 kgv_in = 15 m/sv_out = 5 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,4 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 1,4 s і амплітудою 16 cm. За який найменший час t воно переміститься з положення рівноваги до зміщення 9,6 cm?

T = 1,4 sA = 16 cmx = 9,6 cm

t = s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: довжина 0,65 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₄ для моди «гармоніка номер 4».

v = 343 m/sn = 4L = 0,65 m

f₄ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 600 нм падає на дві щілини на відстані 0,1 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 2,5 м. Знайдіть відстань Δy між сусідніми світлими смугами.

λ = 600 nmd = 0,1 mmL = 2,5 m

Δy = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 41,15 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·6) = 41,15 m

Відповідь

s = 41,15 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 22,02 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активна ділянка

v₁ = 36·2,5 = 90 m/s

h₁ = ½·36·2,5² = 112,5 m

Вільний політ до землі

Розв’яжіть −h₁ = v₁·t₂ − ½·g·t₂² і візьміть додатний корінь.

t₂ = (90 + √(90² + 2·9,81·112,5))/9,81 = 19,52 s

t = 2,5 + 19,52 = 22,02 s

Відповідь

t = 22,02 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: T = 32,7 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Прискорення

Рушійна рівнодійна сила — це різниця ваг; вона рухає загальну масу.

a = (10 − 2)·9,81/(10 + 2) = 6,54 m/s²

Сила натягу з рівняння для легшого вантажу

T − m₂·g = m₂·a → T = 2·(9,81 + 6,54) = 32,7 N

Відповідь

T = 32,7 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 20,18 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 7,848)/7 = 3,083 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·3,083 + 7,848 = 20,18 N

Відповідь

T = 20,18 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,591 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 60° = 22,52 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·22,52/9,81 = 4,591 s

Відповідь

t = 4,591 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 1,409 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 15° = 12,56 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 15° = 3,365 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 5 + 3,365·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3,365 + √(11,32 + 98,1))/9,81 = 1,409 s

Відповідь

t = 1,409 s

7.Рух по колу

Відповідь: θ = 8,673 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Одиниці

v = 80/3,6 = 22,22 m/s

Кут нахилу полотна

tan θ = v²/(r·g) = 22,22²/(330·9,81) = 0,1525

θ = 8,673°

Відповідь

θ = 8,673°

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 48 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 10² − 4·9,81·1,2 = 52,91 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,4·52,91/1,2 − 1,4·9,81 = 48 N

Відповідь

T_top = 48 N

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 7,079 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 30/3,6 = 8,333 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 8,333²/(2·0,5·9,81) = 7,079 m

Відповідь

d = 7,079 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: d = 0,8398 m

Енергія пружини

x = 15 cm = 0,15 m

½kx² = ½·3000·0,15² = 33,75 J

Енергетичний баланс уздовж площини

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 33,75/(49,05·(0,5736 + 0,3·0,8192)) = 0,8398 m

Відповідь

d = 0,8398 m

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 8,333 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2,5 − 0,5)/(2,5 + 0,5)·5 = 3,333 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 0,5)·5 = 8,333 m/s

Відповідь

v′₂ = 8,333 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 12 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,6·(5 + 15) = 12 N·s

Відповідь

J = 12 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,487 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,4/2π)² = 0,487 m

Відповідь

L = 0,487 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,1434 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/1,4 = 4,488 rad/s

Виразіть час

0,6 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,6) = 0,6435 rad

t = 0,6435/4,488 = 0,1434 s

Відповідь

t = 0,1434 s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₄ = 1055 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,65/4 = 0,325 m

Частота

f = v/λ = 343/0,325 = 1055 Hz

Відповідь

f₄ = 1055 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: Δy = 15 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·2,5/(0,1 × 10⁻³) = 15 mm

Відповідь

Δy = 15 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics