Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 36 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 36 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 7 m/s з краю даху на висоті 10 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 7 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 11 m/s і зупиняється, пройшовши 62 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 11 m/sd = 62 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 6 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 6 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 70° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 36 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з вершини скелі висотою 10 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 30 m/sθ = 55°h = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 1,7 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 45° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 1,7 mθ = 45°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,5 kg на легкій нитці завдовжки 1,1 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 10,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 0,5 kgr = 1,1 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 1200 kg піднімається схилом 2° зі сталою швидкістю 90 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 300 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 1200 kgθ = 2°F_r = 300 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 1 kgh = 2,5 mL = 3,5 mμ = 0,3k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 1,5 kg, що рухається зі швидкістю 6 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 1,5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,55 kg ударяється об стіну зі швидкістю 14 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 9 m/s. Контакт триває 50 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,55 kgv_in = 14 m/sv_out = 9 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 4 kg на пружині з k = 250 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 5 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 2 cm від положення рівноваги.

m = 4 kgk = 250 N/mA = 5 cmx = 2 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 420 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max вантажу.

m = 1 kgk = 420 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,5 м, хвилі поширюються зі швидкістю 150 м/с. Знайдіть частоту f₄ для моди «гармоніка номер 4».

v = 150 m/sn = 4L = 0,5 m

f₄ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,46 і оболонку з n₂ = 1,38. Знайдіть його числову апертуру NA.

n₁ = 1,46n₂ = 1,38

NA =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 16,67 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·3) = 16,67 m

Відповідь

s = 16,67 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 2,31 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−10 = 7·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 7·t − 10 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (7 + √(7² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,31 s

Відповідь

t = 2,31 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,09947

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 11²/(2·62) = 0,9758 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,9758/9,81 = 0,09947

Відповідь

μ = 0,09947

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 6,196 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 0)/9,5 = 6,196 m/s²

Відповідь

a = 6,196 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 84,92 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 70° = 12,31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 70° = 33,83 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·33,83/9,81 = 6,897 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 12,31·6,897 = 84,92 m

Відповідь

x = 84,92 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 5,388 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 55° = 17,21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 55° = 24,57 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 10 + 24,57·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (24,57 + √(603,9 + 196,2))/9,81 = 5,388 s

Відповідь

t = 5,388 s

7.Рух по колу

Відповідь: T = 2,199 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 1,7·sin 45° = 1,202 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,202·9,81·tan 45°) = 3,434 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·1,202/3,434 = 2,199 s

Відповідь

T = 2,199 s

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 25,59 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·1,1 = 67,09 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,5·67,09/1,1 − 0,5·9,81 = 25,59 N

Відповідь

T_top = 25,59 N

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 17,77 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1200·9,81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 2° = 410,8 N

F = 410,8 + 300 = 710,8 N

Потужність

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 710,8·25 = 17771 W = 17,77 kW

Відповідь

P = 17,77 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,334 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(2,5 − 0,3·3,5) = 14,22 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,45) = 5,334 m/s

Відповідь

v = 5,334 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = −2,4 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (1,5 − 3,5)/(1,5 + 3,5)·6 = −2,4 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 3,5)·6 = 3,6 m/s

Відповідь

v′₁ = −2,4 m/s

Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 12,65 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,55·(9 + 14) = 12,65 N·s

Відповідь

J = 12,65 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,3623 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(250/4) = 7,906 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 7,906·√(0,05² − 0,02²) = 0,3623 m/s

Відповідь

v = 0,3623 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,4787 m/s

Положення рівноваги й амплітуда

x₀ = m·g/k = 1·9,81/420 = 0,02336 m = A

Найбільша швидкість

Швидкість найбільша в положенні рівноваги.

ω = √(420/1) = 20,49 rad/s

v_max = A·ω = 0,02336·20,49 = 0,4787 m/s

Відповідь

v_max = 0,4787 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₄ = 600 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,5/4 = 0,25 m

Частота

f = v/λ = 150/0,25 = 600 Hz

Відповідь

f₄ = 600 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: NA = 0,4767

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,38/1,46 = 0,9452 → θc = 70,94°

Числова апертура

NA = √(1,46² − 1,38²) = 0,4767

Відповідь

NA = 0,4767

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics