Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 200 km/h, а довжина злітної смуги 1500 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 200 km/hs = 1500 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 18 m/s з краю даху на висоті 30 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 18 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 18 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 40° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 18 kgθ = 40°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2,5 kg на похилій площині з кутом 25° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 10 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 10 kgθ = 25°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 18 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 40° до горизонту з вершини скелі висотою 55 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 19 m/sθ = 40°h = 55 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Поворот радіусом 260 m має нахил полотна 18°. З якою швидкістю v автомобіль може пройти його взагалі без потреби в терті? Прийміть g = 9,81 m/s².

r = 260 mθ = 18°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,7 kg на нитці завдовжки 1,3 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 3 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,7 kgr = 1,3 mv = 3 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 17 m вздовж площини.

θ = 25°μ = 0,2d = 17 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2,5 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 0,5 kgh = 1,5 mL = 2,5 mμ = 0,15k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 8 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 22 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 6 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 32 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 2 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 8 kgu = 22 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 32 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 20 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 2 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,6 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 25° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 20 gM = 2 kgL = 1,6 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,2 m має період 3,57 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,2 mT = 3,57 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 1,8 s і амплітудою 7 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 7 cm до зміщення 4,2 cm?

T = 1,8 sA = 7 cmx = 4,2 cm

t = s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, закрита з одного кінця: гармоніка номер 5 має становити 286 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть довжину L труби.

v = 343 m/sn = 5f₅ = 286 Hz

L = m

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 600 нм падає на дві щілини на відстані 0,3 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 1,5 м. Знайдіть відстань Δy між сусідніми світлими смугами.

λ = 600 nmd = 0,3 mmL = 1,5 m

Δy = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 1,029 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 200/3,6 = 55,56 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 55,56²/(2·1500) = 1,029 m/s²

Відповідь

a = 1,029 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: t = 4,914 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−30 = 18·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 18·t − 30 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (18 + √(18² + 2·9,81·30))/9,81 = 4,914 s

Відповідь

t = 4,914 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,051 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 40° − 0,3·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,2298) = 4,051 m/s²

Відповідь

a = 4,051 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 32,36 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж нитки

m₂·g = 98,1 N

m₁·g·sin θ = 10,36 N

μ·m₁·g·cos θ = 5,557 N

Прискорення системи

a = (98,1 − 10,36 − 5,557)/12,5 = 6,574 m/s²

Сила натягу з рівняння для підвішеного вантажу

m₂·g − T = m₂·a → T = 10·(9,81 − 6,574) = 32,36 N

Відповідь

T = 32,36 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 33,03 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 45° = 12,73 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 45° = 12,73 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·12,73/9,81 = 2,595 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 12,73·2,595 = 33,03 m

Відповідь

x = 33,03 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,817 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 19·cos 40° = 14,55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 19·sin 40° = 12,21 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 55 + 12,21·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12,21 + √(149,2 + 1079))/9,81 = 4,817 s

Відповідь

t = 4,817 s

7.Рух по колу

Відповідь: v = 28,79 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівновага сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Швидкість

v = √(r·g·tan θ) = √(260·9,81·tan 18°) = 28,79 m/s

Відповідь

v = 28,79 m/s

(103,6 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 11,71 N

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,7·9,81 + 0,7·3²/1,3 = 6,867 + 4,846 = 11,71 N

Відповідь

T = 11,71 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 8,972 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·17·(0,4226 − 0,2·0,9063)) = 8,972 m/s

Відповідь

v = 8,972 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 10,51 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 4,905·(1,5 − 0,15·2,5) = 5,518 J

Найбільше стиснення

½kx² = 5,518 → x = √(2·5,518/1000) = 0,1051 m = 10,51 cm

Відповідь

x = 10,51 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 8·22 = 176 kg·m/s

Імпульс після удару

176 = 6·32 + 2·v′₂

v′₂ = (176 − 192)/2 = −8 m/s

Відповідь

v′₂ = −8 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 173,2 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,6·(1 − cos 25°) = 0,1499 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,1499) = 1,715 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 2,02·1,715/0,02 = 173,2 m/s

Відповідь

v = 173,2 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 3,717 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,2/3,57² = 3,717 m/s²

Відповідь

g = 3,717 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,2657 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/1,8 = 3,491 rad/s

Виразіть час

0,6 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,6) = 0,9273 rad

t = 0,9273/3,491 = 0,2657 s

Відповідь

t = 0,2657 s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: L = 1,499 m

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 343/286 = 1,199 m

Довжина

L = nλ/4 = 5·1,199/4 = 1,499 m

Відповідь

L = 1,499 m

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: Δy = 3 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1,5/(0,3 × 10⁻³) = 3 mm

Відповідь

Δy = 3 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics