Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 100 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 100 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 16 m/s з краю даху на висоті 40 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 16 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 5 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 5 kgθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 1 kg на похилій площині з кутом 40° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 1 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Тертя на похилій площині відсутнє. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 1 kgm₂ = 1 kgθ = 40°μ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 36 m/s, і він має впасти на відстані 60 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 36 m/sR = 60 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 24 m/s під кутом 30° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 50 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 24 m/sθ = 30°h = 50 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 1,1 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 20° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кульки.

L = 1,1 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 1,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 10,15 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 3,5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_bottom траси на візок у нижній точці петлі.

m = 1,5 kgh = 10,15 mR = 3,5 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 110 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 110 km/hμ = 0,8g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,1). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 2 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 0,5 m.

m₁ = 10 kgm₂ = 2 kgμ = 0,1d = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3,5 kg, що рухається зі швидкістю 6 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 1 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,6 kg ударяється об стіну зі швидкістю 15 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 17 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,6 kgv_in = 15 m/sv_out = 17 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 3,7 kg на пружині з k = 100 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 9 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 1 cm від положення рівноваги.

m = 3,7 kgk = 100 N/mA = 9 cmx = 1 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 3,5 kg на пружині з k = 130 N/m відтягують на 12 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 3,5 kgk = 130 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 50 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 12 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

d_o = 50 cmf = 12 cm

m =

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 10 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 20 см і лінза 2 з f₂ = −20 см. Предмет стоїть на відстані 25 см перед лінзою 1. Знайдіть положення d_i2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).

f₁ = 20 cmf₂ = −20 cms = 10 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 5,556 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/5 = 5,556 s

Відповідь

t = 5,556 s

2.Кінематика

Відповідь: t = 4,92 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−40 = 16·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 16·t − 40 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (16 + √(16² + 2·9,81·40))/9,81 = 4,92 s

Відповідь

t = 4,92 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,02 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 35° − 0,2·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,1638) = 4,02 m/s²

Відповідь

a = 4,02 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 8,058 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж нитки

m₂·g = 9,81 N

m₁·g·sin θ = 6,306 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Прискорення системи

a = (9,81 − 6,306 − 0)/2 = 1,752 m/s²

Сила натягу з рівняння для підвішеного вантажу

m₂·g − T = m₂·a → T = 1·(9,81 − 1,752) = 8,058 N

Відповідь

T = 8,058 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 13,51 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·60/36² = 0,4542

Кут

2θ = 27,01° → θ = 13,51°

Відповідь

θ = 13,51°

Інший розв’язок 90° − θ = 76,49°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 57,34 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 24·sin 30° = 12 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 12²/(2·9,81) = 7,339 m

Висота над землею

H = 50 + 7,339 = 57,34 m

Відповідь

H = 57,34 m

7.Рух по колу

Відповідь: v = 1,159 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 1,1·sin 20° = 0,3762 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,3762·9,81·tan 20°) = 1,159 m/s

Відповідь

v = 1,159 m/s

8.Рух по колу

Відповідь: N_bottom = 100,1 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·10,15 = 199,1 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R + m·g = 1,5·199,1/3,5 + 14,71 = 100,1 N

Відповідь

N_bottom = 100,1 N

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 59,48 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 110/3,6 = 30,56 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30,56²/(2·0,8·9,81) = 59,48 m

Відповідь

d = 59,48 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 0,9042 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 19,62·0,5 = 9,81 J

μ·m₁g·d = 0,1·98,1·0,5 = 4,905 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 4,905 → v = √(2·4,905/12) = 0,9042 m/s

Відповідь

v = 0,9042 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 3,333 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3,5 − 1)/(3,5 + 1)·6 = 3,333 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 1)·6 = 9,333 m/s

Відповідь

v′₁ = 3,333 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 19,2 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,6·(17 + 15) = 19,2 N·s

Відповідь

J = 19,2 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,465 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(100/3,7) = 5,199 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 5,199·√(0,09² − 0,01²) = 0,465 m/s

Відповідь

v = 0,465 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 4,457 m/s²

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(130/3,5) = 6,094 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,12·6,094² = 4,457 m/s²

Відповідь

a_max = 4,457 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = −0,3158

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/50

d_i = 15,79 cm

Збільшення

m = −d_i/d_o = −15,79/50 = −0,3158

Відповідь

m = −0,3158

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i2 = −25,71 cm

Зображення від лінзи 1

1/d_i1 = 1/20 − 1/25 → d_i1 = 100 cm

Предмет для лінзи 2

d_o2 = 10 − 100 = −90 cm

Кінцеве зображення

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/(−90) → d_i2 = −25,71 cm

Відповідь

d_i2 = −25,71 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics