Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 90 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,1 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 90 km/ht_r = 1,1 sa = −4 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 8 m/s з краю даху на висоті 30 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 8 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 11 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 11 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 9,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 34 m/s, і він має впасти на відстані 95 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 34 m/sR = 95 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 35 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 27 m/sθ = 15°h = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль масою 1800 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 6 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 70 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 1800 kgv = 6 m/sr = 70 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 3,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 23,4 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 6 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_top траси на візок у верхній точці петлі.

m = 3,5 kgh = 23,4 mR = 6 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 1000 kg піднімається схилом 8° зі сталою швидкістю 90 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 400 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 1000 kgθ = 8°F_r = 400 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2,5 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 2,5 kgh = 4,5 mL = 2,5 mμ = 0,15k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 5 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 3 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 11 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 5 gM = 3 kgh = 11 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 800 kg налітає на припаркований автомобіль масою 2000 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 23,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,6. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 800 kgm₂ = 2000 kgd = 23,5 mμ = 0,6g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 0,8 m має період 1,89 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 0,8 mT = 1,89 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 360 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 5 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 1 cm від положення рівноваги.

k = 360 N/mA = 5 cmx = 1 cm

U = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Мала гучномовна колонка випромінює звукову потужність 0,5 Вт однаково в усіх напрямках. Знайдіть рівень інтенсивності звуку β на відстані 20 м.

P = 0,5 Wr = 20 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 30 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 15 см і лінза 2 з f₂ = −20 см. Предмет стоїть на відстані 25 см перед лінзою 1. Знайдіть положення d_i2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).

f₁ = 15 cmf₂ = −20 cms = 30 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 105,6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 25·1,1 = 27,5 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·4) = 78,13 m

Разом

d = 27,5 + 78,13 = 105,6 m

Відповідь

d = 105,6 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,42 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−30 = 8·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 8·t − 30 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (8 + √(8² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,42 s

Відповідь

t = 3,42 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,051 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 20° − 0,25·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,2349) = 1,051 m/s²

Відповідь

a = 1,051 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 21,36 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 9,32)/12 = 1,267 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9,5·1,267 + 9,32 = 21,36 N

Відповідь

T = 21,36 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 26,86 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·95/34² = 0,8062

Кут

2θ = 53,72° → θ = 26,86°

Відповідь

θ = 26,86°

Інший розв’язок 90° − θ = 63,14°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,477 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 15° = 26,08 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 15° = 6,988 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 35 + 6,988·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (6,988 + √(48,83 + 686,7))/9,81 = 3,477 s

Відповідь

t = 3,477 s

7.Рух по колу

Відповідь: N = 16732 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r

N = 1800·9,81 − 1800·6²/70 = 17658 − 925,7 = 16732 N

Відповідь

N = 16732 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: N_top = 96,14 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·(23,4 − 2·6) = 223,7 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R − m·g = 3,5·223,7/6 − 34,34 = 96,14 N

Відповідь

N_top = 96,14 N

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 44,13 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1000·9,81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 8° = 1365 N

F = 1365 + 400 = 1765 N

Потужність

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 1765·25 = 44132 W = 44,13 kW

Відповідь

P = 44,13 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 8,996 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(4,5 − 0,15·2,5) = 101,2 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4,125) = 8,996 m/s

Відповідь

v = 8,996 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 882,9 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,11) = 1,469 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 3)·1,469/0,005 = 882,9 m/s

Відповідь

v = 882,9 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 58,21 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,6·9,81·23,5) = 16,63 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·16,63/800 = 58,21 m/s

Відповідь

v₁ = 58,21 m/s

(209,6 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 8,842 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,8/1,89² = 8,842 m/s²

Відповідь

g = 8,842 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: U = 0,018 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·360·0,05² = 0,45 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·360·0,01² = 0,018 J

Відповідь

U = 0,018 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β = 79,98 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Інтенсивність

I = P/(4πr²) = 9,947 × 10⁻⁵ W/m²

Рівень

β = 10·log₁₀(9,947 × 10⁻⁵/10⁻¹²) = 79,98 dB

Відповідь

β = 79,98 dB

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i2 = 12 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Зображення від лінзи 1

1/d_i1 = 1/15 − 1/25 → d_i1 = 37,5 cm

Предмет для лінзи 2

d_o2 = 30 − 37,5 = −7,5 cm

Кінцеве зображення

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/(−7,5) → d_i2 = 12 cm

Відповідь

d_i2 = 12 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics