Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 50 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 50 km/ha = −7 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 3,1 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 3,1 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 10 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 15° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 10 kgθ = 15°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 9 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 9 kgm₂ = 5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 32 m/s, і він має впасти на відстані 75 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 32 m/sR = 75 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 35 m/s під кутом 20° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 10 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v, з якою він ударяється об землю.

v₀ = 35 m/sθ = 20°h = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 1,9 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу частоту обертання n в обертах за хвилину.

r = 1,9 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,9 kg на легкій нитці завдовжки 1,1 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 9,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,9 kgr = 1,1 mv_bottom = 9,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 1500 kg піднімається схилом 4° зі сталою швидкістю 90 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 500 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 1500 kgθ = 4°F_r = 500 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 5000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 4 kgh = 4,5 mL = 1 mμ = 0,2k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1200 kg, що рухається зі швидкістю 6 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1700 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 1200 kgv₁ = 6 m/sm₂ = 1700 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,2 kg ударяється об стіну зі швидкістю 23 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 14 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,2 kgv_in = 23 m/sv_out = 14 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,5 m має період 4 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,5 mT = 4 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,8 kg на пружині з k = 120 N/m відтягують на 2 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 0,8 kgk = 120 N/mA = 2 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Спостерігач рухається зі швидкістю 10 м/с від нерухомого джерела частотою 400 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 400 Hzv = 343 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Паркувальний датчик у стані спокою посилає ультразвук 35 кГц до автомобіля, що наближається зі швидкістю 10 м/с. Знайдіть частоту f″ відлуння, прийнятого датчиком (швидкість звуку 343 м/с).

f = 35 kHzu = 10 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 1,984 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13,89/7 = 1,984 s

Відповідь

t = 1,984 s

2.Кінематика

Відповідь: d = 43,37 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(3,1 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1063 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1063))/(2·4,905) = 2,974 s

Глибина

d = ½·9,81·2,974² = 43,37 m

Відповідь

d = 43,37 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 63,29 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 25,39 + 37,9 = 63,29 N

Відповідь

F = 63,29 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 39,42 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49,05 − 22,07)/14 = 1,927 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·1,927 + 22,07 = 39,42 N

Відповідь

T = 39,42 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 22,97 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·75/32² = 0,7185

Кут

2θ = 45,93° → θ = 22,97°

Відповідь

θ = 22,97°

Інший розв’язок 90° − θ = 67,03°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v = 37,7 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 35·cos 20° = 32,89 m/s

v_y0 = 35·sin 20° = 11,97 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(11,97² + 2·9,81·10) = 18,43 m/s

Швидкість у момент удару

v = √(32,89² + 18,43²) = 37,7 m/s

Відповідь

v = 37,7 m/s

Перевірка через енергію: v² = v₀² + 2gh.

7.Рух по колу

Відповідь: n = 39,62 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,3·1,9)) = 4,149 rad/s

Частота обертання

n = ω·60/(2π) = 39,62 rpm

Відповідь

n = 39,62 rpm

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 62,69 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 9,5² − 4·9,81·1,1 = 47,09 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,9·47,09/1,1 − 1,9·9,81 = 62,69 N

Відповідь

T_top = 62,69 N

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 38,16 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1500·9,81 = 14715 N

mg·sin θ = 14715·sin 4° = 1026 N

F = 1026 + 500 = 1526 N

Потужність

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 1526·25 = 38162 W = 38,16 kW

Відповідь

P = 38,16 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 25,98 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 39,24·(4,5 − 0,2·1) = 168,7 J

Найбільше стиснення

½kx² = 168,7 → x = √(2·168,7/5000) = 0,2598 m = 25,98 cm

Відповідь

x = 25,98 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 12662 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1200·6/2900 = 2,483 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1200·6² = 21600 J

K_after = ½·2900·2,483² = 8938 J

Втрачена енергія

ΔK = 21600 − 8938 = 12662 J

Відповідь

ΔK = 12662 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 296 N

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,2·(14 + 23) = 7,4 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 7,4/0,025 = 296 N

Відповідь

F_avg = 296 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 3,701 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,5/4² = 3,701 m/s²

Відповідь

g = 3,701 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 0,024 J

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(120/0,8) = 12,25 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·120·0,02² = 0,024 J

Відповідь

E = 0,024 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 388,3 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 400·(343 − 10)/(343 + 0)

f′ = 388,3 Hz

Відповідь

f′ = 388,3 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f″ = 37102 Hz

Частота біля автомобіля

f′ = 35000·(343 + 10)/343 = 36020 Hz

Частота відлуння

f″ = f′·343/(343 − 10) = 37102 Hz

Відповідь

f″ = 37102 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics