Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 200 km/h, а довжина злітної смуги 1600 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 200 km/hs = 1600 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 2,5 m/s² протягом 12 s, потім їде зі сталою швидкістю 29 s і нарешті гальмує з прискоренням 2,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 2,5 m/s²t₁ = 12 st₂ = 29 sa₃ = −2,5 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 10 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 25° над горизонталлю із силою 30 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 10 kgF = 30 Nθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 20° зі швидкістю 10,5 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 10,5 m/sθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 70° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 24 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 32 m/s під кутом 55° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 45 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 32 m/sθ = 55°h = 45 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 45 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 45 mμ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,3 kg на нитці завдовжки 1 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 8 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,3 kgr = 1 mv = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 1200 kg піднімається схилом 3° зі сталою швидкістю 72 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 600 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 1200 kgθ = 3°F_r = 600 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 5000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 5 kgh = 4 mL = 4 mμ = 0,15k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3,5 kg, що рухається зі швидкістю 11 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,15 kg ударяється об стіну зі швидкістю 19 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 7 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,15 kgv_in = 19 m/sv_out = 7 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 1,6 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 1,6 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 15 g, що летить зі швидкістю 300 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 3 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 400 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 15 gv = 300 m/sM = 3 kgk = 400 N/m

A = cm

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Джерело частотою 500 Гц, що рухається зі швидкістю 34 м/с, і спостерігач, що рухається зі швидкістю 5 м/с, наближаються один до одного. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 500 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 20 см перед опукле дзеркалом із радіусом кривини 10 см. Знайдіть відстань до зображення d_i: додатну для зображення перед дзеркалом (дійсного) і від’ємну для зображення за ним (уявного).

d_o = 20 cmR = 10 cm

d_i = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 0,9645 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 200/3,6 = 55,56 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 55,56²/(2·1600) = 0,9645 m/s²

Відповідь

a = 0,9645 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: s = 1230 m

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 2,5·12 = 30 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·2,5·12² = 180 m

s₂ = 30·29 = 870 m

s₃ = 30²/(2·2,5) = 180 m

Повна відстань

s = 180 + 870 + 180 = 1230 m

Відповідь

s = 1230 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,01 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 98,1 − 30·sin 25° = 85,42 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 27,19 − 17,08

a = 10,1/10 = 1,01 m/s²

Відповідь

a = 1,01 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 9,74 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 20° + 0,25·cos 20°) = 5,66 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 10,5²/(2·5,66) = 9,74 m

Відповідь

d = 9,74 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 25,92 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 70° = 8,208 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 70° = 22,55 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 22,55²/(2·9,81) = 25,92 m

Відповідь

H = 25,92 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 65,15 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 32·cos 55° = 18,35 m/s

v_y0 = 32·sin 55° = 26,21 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(26,21² + 2·9,81·45) = 39,62 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 39,62/18,35 → α = 65,15°

Відповідь

α = 65,15°

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 11,51 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,3·9,81·45) = 11,51 m/s

Відповідь

v_max = 11,51 m/s (41,43 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 22,14 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,3·9,81 + 0,3·8²/1 = 2,943 + 19,2 = 22,14 N

Відповідь

T = 22,14 N

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 24,32 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1200·9,81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 3° = 616,1 N

F = 616,1 + 600 = 1216 N

Потужність

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 1216·20 = 24322 W = 24,32 kW

Відповідь

P = 24,32 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 25,83 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 49,05·(4 − 0,15·4) = 166,8 J

Найбільше стиснення

½kx² = 166,8 → x = √(2·166,8/5000) = 0,2583 m = 25,83 cm

Відповідь

x = 25,83 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 9,625 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3,5 − 4,5)/(3,5 + 4,5)·11 = −1,375 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 4,5)·11 = 9,625 m/s

Відповідь

v′₂ = 9,625 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 3,9 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,15·(7 + 19) = 3,9 N·s

Відповідь

J = 3,9 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,537 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(1,6/9,81) = 2,537 s

Відповідь

T = 2,537 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: A = 12,96 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,015·300/3,015 = 1,493 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(400/3,015) = 11,52 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 1,493/11,52 = 0,1296 m = 12,96 cm

Відповідь

A = 12,96 cm

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 563,1 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 500·(343 + 5)/(343 − 34)

f′ = 563,1 Hz

Відповідь

f′ = 563,1 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −4 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Фокусна відстань

f = −R/2 = −5 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−5) − 1/20

d_i = −4 cm

Хід променів

уявне зображення за дзеркалом

Відповідь

d_i = −4 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics