Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 280 km/h, а довжина злітної смуги 1500 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1500 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 8 m/s з краю даху на висоті 10 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 8 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 16 kg ковзає вниз гладкою похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 16 kgθ = 25°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 1,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 1 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 30° над горизонталлю, і він падає на відстані 80 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 30°R = 80 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 22 m/s під кутом 55° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 11 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 22 m/sθ = 55°h_roof = 11 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 145 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,8. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 145 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,4 kg на нитці завдовжки 0,5 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 4 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,4 kgr = 0,5 mv = 4 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 5 kg ковзає 10 m похилою площиною під кутом 30° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,15. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 5 kgθ = 30°μ = 0,15d = 10 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 2000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 4 kgh = 4 mL = 3 mμ = 0,1k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1600 kg, що рухається зі швидкістю 10 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1200 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 1600 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 0,8 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 20° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 1,5 kgL = 0,8 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 3,9 kg на пружині з k = 80 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 11 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 4 cm від положення рівноваги.

m = 3,9 kgk = 80 N/mA = 11 cmx = 4 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 15 g, що летить зі швидкістю 300 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 1 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 1600 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 15 gv = 300 m/sM = 1 kgk = 1600 N/m

A = cm

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 8 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 20 см. Знайдіть відстань до зображення d_i. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для розсіювальної лінзи, d_i < 0 для уявного зображення).

d_o = 8 cmf = 20 cm

d_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 10 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 8 см і лінза 2 з f₂ = −20 см. Предмет стоїть на відстані 18 см перед лінзою 1. Знайдіть положення d_i2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).

f₁ = 8 cmf₂ = −20 cms = 10 cmd_o = 18 cm

d_i2 = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 2,016 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·1500) = 2,016 m/s²

Відповідь

a = 2,016 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: t = 2,46 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−10 = 8·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 8·t − 10 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (8 + √(8² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,46 s

Відповідь

t = 2,46 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,146 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0) = 4,146 m/s²

Відповідь

a = 4,146 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,924 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9,81 − 0)/2,5 = 3,924 m/s²

Відповідь

a = 3,924 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 30,1 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·80/sin 60°) = 30,1 m/s

Відповідь

v₀ = 30,1 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 36,61 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 12,62 m/s, v_y = 18,02 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

11 = 18,02·t − 4,905·t²

t = (18,02 + √(18,02² − 2·9,81·11))/9,81 = 2,901 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 12,62·2,901 = 36,61 m

Відповідь

x = 36,61 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 33,73 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·145) = 33,73 m/s

Відповідь

v_max = 33,73 m/s (121,4 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 16,72 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,4·9,81 + 0,4·4²/0,5 = 3,924 + 12,8 = 16,72 N

Відповідь

T = 16,72 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 63,72 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 49,05·0,866 = 42,48 N

F = μN = 0,15·42,48 = 6,372 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 6,372·10 = 63,72 J

Відповідь

W_f = 63,72 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 38,1 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 39,24·(4 − 0,1·3) = 145,2 J

Найбільше стиснення

½kx² = 145,2 → x = √(2·145,2/2000) = 0,381 m = 38,1 cm

Відповідь

x = 38,1 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 34286 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·10/2800 = 5,714 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1600·10² = 80000 J

K_after = ½·2800·5,714² = 45714 J

Втрачена енергія

ΔK = 80000 − 45714 = 34286 J

Відповідь

ΔK = 34286 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 146,9 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,8·(1 − cos 20°) = 0,04825 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,04825) = 0,9729 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 1,51·0,9729/0,01 = 146,9 m/s

Відповідь

v = 146,9 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,4641 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(80/3,9) = 4,529 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 4,529·√(0,11² − 0,04²) = 0,4641 m/s

Відповідь

v = 0,4641 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: A = 11,17 cm

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,015·300/1,015 = 4,433 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1600/1,015) = 39,7 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 4,433/39,7 = 0,1117 m = 11,17 cm

Відповідь

A = 11,17 cm

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −13,33 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/8

d_i = −13,33 cm

Хід променів

уявне, з того самого боку, що й предмет

Відповідь

d_i = −13,33 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i2 = 5,641 cm

Зображення від лінзи 1

1/d_i1 = 1/8 − 1/18 → d_i1 = 14,4 cm

Предмет для лінзи 2

d_o2 = 10 − 14,4 = −4,4 cm

Кінцеве зображення

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/(−4,4) → d_i2 = 5,641 cm

Відповідь

d_i2 = 5,641 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics