Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 120 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 6 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 120 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1,5 m/s² протягом 5 s, потім їде зі сталою швидкістю 6 s і нарешті гальмує з прискоренням 3 m/s² до зупинки. Знайдіть повний час руху t.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 5 st₂ = 6 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 11 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 11 kgθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 4,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 5,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 38 m/s, і він має впасти на відстані 80 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 38 m/sR = 80 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 10 m/s під кутом 40° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 5 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 10 m/sθ = 40°h = 5 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Поворот радіусом 50 m має нахил полотна 5°. З якою швидкістю v автомобіль може пройти його взагалі без потреби в терті? Прийміть g = 9,81 m/s².

r = 50 mθ = 5°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,3 kg на нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 7 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,3 kgr = 1,5 mv = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 200 N/m. На неї кладуть кульку 0,15 kg, стискають пружину на 10 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,15 kgk = 200 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,2). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 5 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 3 m.

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgμ = 0,2d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 1 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 17 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 1 kgh = 17 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,2 kg ударяється об стіну зі швидкістю 14 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 14 m/s. Контакт триває 5 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,2 kgv_in = 14 m/sv_out = 14 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 1,6 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 1,6 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,2 kg на пружині з k = 160 N/m відтягують на 15 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 0,2 kgk = 160 N/mA = 15 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 50 см перед тонкою лінзою (розсіювальна) з фокусною відстанню 30 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

d_o = 50 cmf = −30 cm

m =

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,62 і оболонку з n₂ = 1,57. Знайдіть його числову апертуру NA.

n₁ = 1,62n₂ = 1,57

NA =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 92,59 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·6) = 92,59 m

Відповідь

s = 92,59 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 13,5 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1,5·5 = 7,5 m/s

Час гальмування

t₃ = v/a₃ = 7,5/3 = 2,5 s

Загальний час

t = 5 + 6 + 2,5 = 13,5 s

Відповідь

t = 13,5 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,257 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0,1·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,09063) = 3,257 m/s²

Відповідь

a = 3,257 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,292 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 11,04)/10 = 4,292 m/s²

Відповідь

a = 4,292 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 16,46 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·80/38² = 0,5435

Кут

2θ = 32,92° → θ = 16,46°

Відповідь

θ = 16,46°

Інший розв’язок 90° − θ = 73,54°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 7,106 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 10·sin 40° = 6,428 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 6,428²/(2·9,81) = 2,106 m

Висота над землею

H = 5 + 2,106 = 7,106 m

Відповідь

H = 7,106 m

7.Рух по колу

Відповідь: v = 6,551 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівновага сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Швидкість

v = √(r·g·tan θ) = √(50·9,81·tan 5°) = 6,551 m/s

Відповідь

v = 6,551 m/s

(23,58 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 12,74 N

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,3·9,81 + 0,3·7²/1,5 = 2,943 + 9,8 = 12,74 N

Відповідь

T = 12,74 N

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 0,6796 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·200·0,1² = 1 J

Висота

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 1/1,472 = 0,6796 m

Відповідь

h = 0,6796 m

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,241 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 49,05·3 = 147,2 J

μ·m₁g·d = 0,2·39,24·3 = 23,54 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 123,6 → v = √(2·123,6/9) = 5,241 m/s

Відповідь

v = 5,241 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 184,5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,17) = 1,826 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 1)·1,826/0,01 = 184,5 m/s

Відповідь

v = 184,5 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 5,6 N·s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,2·(14 + 14) = 5,6 N·s

Відповідь

J = 5,6 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,537 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(1,6/9,81) = 2,537 s

Відповідь

T = 2,537 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 1,8 J

Кутова частота

ω = √(160/0,2) = 28,28 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·160·0,15² = 1,8 J

Відповідь

E = 1,8 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = 0,375

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/50

d_i = −18,75 cm

Збільшення

m = −d_i/d_o = −(−18,75)/50 = 0,375

Відповідь

m = 0,375

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: NA = 0,3994

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,57/1,62 = 0,9691 → θc = 75,73°

Числова апертура

NA = √(1,62² − 1,57²) = 0,3994

Відповідь

NA = 0,3994

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics