Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 54 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 54 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 6 m/s з краю даху на висоті 40 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 6 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 12 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 12 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 6 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 5 kgm₂ = 6 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 30° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 12 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 35 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 11 m/sθ = 15°h = 35 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 75 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 75 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,4 kg на легкій нитці завдовжки 0,6 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 7,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,4 kgr = 0,6 mv_bottom = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 50 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,7. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 50 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 2000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 5 kgh = 3,5 mL = 2 mμ = 0,1k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2 kg, що рухається зі швидкістю 2 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 1,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 2 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,3 kg ударяється об стіну зі швидкістю 9 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 19 m/s. Контакт триває 40 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,3 kgv_in = 9 m/sv_out = 19 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,2 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,2 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,6 kg на пружині з k = 80 N/m відтягують на 16 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 0,6 kgk = 80 N/mA = 16 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Світло поширюється в середовищі «кронове скло» (n = 1,50) до плоскої межі із середовищем «етанол» (n = 1,36). Знайдіть критичний кут θ_c, за яким воно повністю відбивається.

n₁ = 1,50n₂ = 1,36

θ_c = °

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Ґратка з 400 лініями на міліметр показує максимум порядку 1 спектральної лінії під кутом 12,7° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 400 mm⁻¹θ₁ = 12,7°m = 1

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 37,5 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·3) = 37,5 m

Відповідь

s = 37,5 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,532 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−40 = 6·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 6·t − 40 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (6 + √(6² + 2·9,81·40))/9,81 = 3,532 s

Відповідь

t = 3,532 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,812 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0,15·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1359) = 2,812 m/s²

Відповідь

a = 2,812 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,905 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 4,905)/11 = 4,905 m/s²

Відповідь

a = 4,905 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 1,835 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 30° = 10,39 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 30° = 6 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 6²/(2·9,81) = 1,835 m

Відповідь

H = 1,835 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 31,63 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 15° = 10,63 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 15° = 2,847 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 35 + 2,847·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (2,847 + √(8,105 + 686,7))/9,81 = 2,977 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 10,63·2,977 = 31,63 m

Відповідь

x = 31,63 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 17,16 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·75) = 17,16 m/s

Відповідь

v_max = 17,16 m/s (61,76 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 62,58 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 7,5² − 4·9,81·0,6 = 32,71 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,4·32,71/0,6 − 1,4·9,81 = 62,58 N

Відповідь

T_top = 62,58 N

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 14,05 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 50/3,6 = 13,89 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13,89²/(2·0,7·9,81) = 14,05 m

Відповідь

d = 14,05 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 40,23 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 49,05·(3,5 − 0,1·2) = 161,9 J

Найбільше стиснення

½kx² = 161,9 → x = √(2·161,9/2000) = 0,4023 m = 40,23 cm

Відповідь

x = 40,23 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 0,2857 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2 − 1,5)/(2 + 1,5)·2 = 0,2857 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 1,5)·2 = 2,286 m/s

Відповідь

v′₁ = 0,2857 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 8,4 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,3·(19 + 9) = 8,4 N·s

Відповідь

J = 8,4 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 1,203 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,2/2π)² = 1,203 m

Відповідь

L = 1,203 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 1,848 m/s

Кутова частота

ω = √(80/0,6) = 11,55 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,16·11,55 = 1,848 m/s

Відповідь

v_max = 1,848 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_c = 65,05 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Заломлення на 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,36/1,50 = 0,9067

Критичний кут

θc = arcsin(0,9067) = 65,05°

Відповідь

θ_c = 65,05°

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 549,6 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 2,5 × 10⁻⁶·sin 12,7°/1 = 549,6 nm

Відповідь

λ = 549,6 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics