Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 50 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 50 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 30 m/s² протягом 3 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 30 m/s²t₁ = 3 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 15 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 15 kgθ = 35°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 4,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 30° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 38 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 35° до горизонту з вершини скелі висотою 25 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 31 m/sθ = 35°h = 25 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 20 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,8. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 20 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,8 kg на нитці завдовжки 1 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 4,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,8 kgr = 1 mv = 4,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 800 kg піднімається схилом 8° зі сталою швидкістю 90 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 300 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 800 kgθ = 8°F_r = 300 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 1500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 4 kgh = 1,5 mL = 2 mμ = 0,2k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3 kg, що рухається зі швидкістю 11 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 3 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,3 kg ударяється об стіну зі швидкістю 11 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 18 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,3 kgv_in = 11 m/sv_out = 18 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,9 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 0,8 s і амплітудою 20 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 20 cm до зміщення 18 cm?

T = 0,8 sA = 20 cmx = 18 cm

t = s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 40 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 10 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

d_o = 40 cmf = 10 cm

m =

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві щілини на відстані 0,5 мм одна від одної освітлено монохроматичним світлом. На екрані на відстані 1 м світла смуга номер 4 лежить на 4,256 мм від центральної смуги. Знайдіть довжину хвилі λ.

d = 0,5 mmL = 1 my₄ = 4,256 mmm = 4

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 2,778 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 13,89/5 = 2,778 s

Відповідь

t = 2,778 s

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 547,8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активна ділянка

v₁ = 30·3 = 90 m/s

h₁ = ½·30·3² = 135 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 90²/(2·9,81) = 412,8 m

h_max = 135 + 412,8 = 547,8 m

Відповідь

h_max = 547,8 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,618 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 35° − 0,25·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,2048) = 3,618 m/s²

Відповідь

a = 3,618 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,66 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 6,867)/8 = 4,66 m/s²

Відповідь

a = 4,66 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 127,5 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 30° = 32,91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 30° = 19 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·19/9,81 = 3,874 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 32,91·3,874 = 127,5 m

Відповідь

x = 127,5 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 119,5 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 35° = 25,39 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 35° = 17,78 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 25 + 17,78·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17,78 + √(316,2 + 490,5))/9,81 = 4,708 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 25,39·4,708 = 119,5 m

Відповідь

x = 119,5 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 12,53 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,8·9,81·20) = 12,53 m/s

Відповідь

v_max = 12,53 m/s (45,1 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 24,05 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,8·9,81 + 0,8·4,5²/1 = 7,848 + 16,2 = 24,05 N

Відповідь

T = 24,05 N

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 34,81 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 800·9,81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 8° = 1092 N

F = 1092 + 300 = 1392 N

Потужність

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 1392·25 = 34806 W = 34,81 kW

Відповідь

P = 34,81 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 23,99 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 39,24·(1,5 − 0,2·2) = 43,16 J

Найбільше стиснення

½kx² = 43,16 → x = √(2·43,16/1500) = 0,2399 m = 23,99 cm

Відповідь

x = 23,99 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 10,15 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3 − 3,5)/(3 + 3,5)·11 = −0,8462 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 3,5)·11 = 10,15 m/s

Відповідь

v′₂ = 10,15 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 8,7 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,3·(18 + 11) = 8,7 N·s

Відповідь

J = 8,7 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 2,09 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,9/2π)² = 2,09 m

Відповідь

L = 2,09 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,05743 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/0,8 = 7,854 rad/s

Виразіть час

0,9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,9) = 0,451 rad

t = 0,451/7,854 = 0,05743 s

Відповідь

t = 0,05743 s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = −0,3333

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/40

d_i = 13,33 cm

Збільшення

m = −d_i/d_o = −13,33/40 = −0,3333

Відповідь

m = −0,3333

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 532 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = y·d/(mL) = 0,004256·0,0005/(4·1) = 5,32 × 10⁻⁷ m = 532 nm

Відповідь

λ = 532 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics