Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 120 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 6,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 120 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1 m/s² протягом 11 s, потім їде зі сталою швидкістю 28 s і нарешті гальмує з прискоренням 2 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 11 st₂ = 28 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 40 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 40° над горизонталлю із силою 120 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 40 kgF = 120 Nθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 5,5 kg на похилій площині з кутом 20° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 4 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 4 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 15° над горизонталлю, і він падає на відстані 70 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 15°R = 70 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 29 m/s під кутом 40° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 15 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 29 m/sθ = 40°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 3,5 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,6. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу частоту обертання n в обертах за хвилину.

r = 3,5 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,2 kg на легкій нитці завдовжки 0,9 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 8 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,2 kgr = 0,9 mv_bottom = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,35. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 13 m вздовж площини.

θ = 30°μ = 0,35d = 13 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1,5 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 2000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2,5 kgh = 4,5 mL = 1,5 mμ = 0,1k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 4 kg, що рухається зі швидкістю 3 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 20 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 0,5 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 40° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 20 gM = 1,5 kgL = 0,5 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 2,6 kg на пружині з k = 100 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 17 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 14 cm від положення рівноваги.

m = 2,6 kgk = 100 N/mA = 17 cmx = 14 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 5 g, що летить зі швидкістю 150 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 0,5 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 100 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 5 gv = 150 m/sM = 0,5 kgk = 100 N/m

A = cm

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 40 см перед тонкою лінзою (розсіювальна) з фокусною відстанню 8 см. Знайдіть відстань до зображення d_i. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для розсіювальної лінзи, d_i < 0 для уявного зображення).

d_o = 40 cmf = −8 cm

d_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 500 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,1 мм. Знайдіть кут θ₃ темної смуги номер 3 відносно напрямку прямого проходження.

λ = 500 nma = 0,1 mmm = 3

θ₃ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 85,47 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·6,5) = 85,47 m

Відповідь

s = 85,47 m

2.Кінематика

Відповідь: s = 398,8 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1·11 = 11 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·1·11² = 60,5 m

s₂ = 11·28 = 308 m

s₃ = 11²/(2·2) = 30,25 m

Повна відстань

s = 60,5 + 308 + 30,25 = 398,8 m

Відповідь

s = 398,8 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 0,3277 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 392,4 − 120·sin 40° = 315,3 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 91,93 − 78,82

a = 13,11/40 = 0,3277 m/s²

Відповідь

a = 0,3277 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 33,69 N

Сили вздовж нитки

m₂·g = 39,24 N

m₁·g·sin θ = 18,45 N

μ·m₁·g·cos θ = 7,605 N

Прискорення системи

a = (39,24 − 18,45 − 7,605)/9,5 = 1,387 m/s²

Сила натягу з рівняння для підвішеного вантажу

m₂·g − T = m₂·a → T = 4·(9,81 − 1,387) = 33,69 N

Відповідь

T = 33,69 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 37,06 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·70/sin 30°) = 37,06 m/s

Відповідь

v₀ = 37,06 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 32,71 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 29·sin 40° = 18,64 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 18,64²/(2·9,81) = 17,71 m

Висота над землею

H = 15 + 17,71 = 32,71 m

Відповідь

H = 32,71 m

7.Рух по колу

Відповідь: n = 20,64 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·3,5)) = 2,161 rad/s

Частота обертання

n = ω·60/(2π) = 20,64 rpm

Відповідь

n = 20,64 rpm

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 26,47 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 8² − 4·9,81·0,9 = 28,68 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,2·28,68/0,9 − 1,2·9,81 = 26,47 N

Відповідь

T_top = 26,47 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 7,087 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·13·(0,5 − 0,35·0,866)) = 7,087 m/s

Відповідь

v = 7,087 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 32,66 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(4,5 − 0,1·1,5) = 106,7 J

Найбільше стиснення

½kx² = 106,7 → x = √(2·106,7/2000) = 0,3266 m = 32,66 cm

Відповідь

x = 32,66 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 0,4286 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (4 − 3)/(4 + 3)·3 = 0,4286 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 3)·3 = 3,429 m/s

Відповідь

v′₁ = 0,4286 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 115,1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,5·(1 − cos 40°) = 0,117 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,117) = 1,515 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 1,52·1,515/0,02 = 115,1 m/s

Відповідь

v = 115,1 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,5981 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(100/2,6) = 6,202 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 6,202·√(0,17² − 0,14²) = 0,5981 m/s

Відповідь

v = 0,5981 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: A = 10,55 cm

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,005·150/0,505 = 1,485 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(100/0,505) = 14,07 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 1,485/14,07 = 0,1055 m = 10,55 cm

Відповідь

A = 10,55 cm

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −6,667 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−8) − 1/40

d_i = −6,667 cm

Хід променів

уявне, з того самого боку, що й предмет

Відповідь

d_i = −6,667 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₃ = 0,8595 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Умова темної смуги

sin θ = mλ/a = 0,015

θ = 0,8595°

Відповідь

θ₃ = 0,8595°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics