Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 2,25 m/s². Знайдіть його швидкість v через 1400 m.

v₀ = 0a = 2,25 m/s²s = 1400 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 2 m/s² протягом 10 s, потім їде зі сталою швидкістю 29 s і нарешті гальмує з прискоренням 2 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 10 st₂ = 29 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 20 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 40° над горизонталлю із силою 80 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 20 kgF = 80 Nθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3 kg на похилій площині з кутом 20° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 7 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 3 kgm₂ = 7 kgθ = 20°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 24 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з вершини скелі висотою 45 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 20 m/sθ = 55°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль масою 1500 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 24 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 105 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 1500 kgv = 24 m/sr = 105 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,9 kg на легкій нитці завдовжки 1,3 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 11 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 0,9 kgr = 1,3 mv_bottom = 11 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 1 kg ковзає 11 m похилою площиною під кутом 45° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,15. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 1 kgθ = 45°μ = 0,15d = 11 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,4). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 4 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 0,5 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgμ = 0,4d = 0,5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 1,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 16 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 1,5 kgh = 16 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,45 kg ударяється об стіну зі швидкістю 28 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 6 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,45 kgv_in = 28 m/sv_out = 6 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,8 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,8 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,1 kg на пружині з k = 470 N/m відтягують на 9 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 1,1 kgk = 470 N/mA = 9 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: довжина 1 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₄ для моди «гармоніка номер 4».

v = 343 m/sn = 4L = 1 m

f₄ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 450 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,05 мм. Знайдіть ширину w центрального світлого максимуму на екрані на відстані 2,5 м (між першими темними смугами з обох боків).

λ = 450 nma = 0,05 mmL = 2,5 m

w = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 79,37 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·2,25·1400) = 79,37 m/s

Відповідь

v = 79,37 m/s

(285,7 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: s = 780 m

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 2·10 = 20 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·2·10² = 100 m

s₂ = 20·29 = 580 m

s₃ = 20²/(2·2) = 100 m

Повна відстань

s = 100 + 580 + 100 = 780 m

Відповідь

s = 780 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,616 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 80·sin 40° = 144,8 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 61,28 − 28,96

a = 32,33/20 = 1,616 m/s²

Відповідь

a = 1,616 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,169 m/s²

Сили вздовж нитки

m₂·g = 68,67 N

m₁·g·sin θ = 10,07 N

μ·m₁·g·cos θ = 6,914 N

Прискорення системи

a = (68,67 − 10,07 − 6,914)/10 = 5,169 m/s²

Відповідь

a = 5,169 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 2,068 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 25° = 21,75 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 25° = 10,14 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·10,14/9,81 = 2,068 s

Відповідь

t = 2,068 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 58,84 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 55° = 11,47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 55° = 16,38 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 45 + 16,38·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16,38 + √(268,4 + 882,9))/9,81 = 5,129 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 11,47·5,129 = 58,84 m

Відповідь

x = 58,84 m

7.Рух по колу

Відповідь: N = 6486 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r

N = 1500·9,81 − 1500·24²/105 = 14715 − 8229 = 6486 N

Відповідь

N = 6486 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 39,62 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 11² − 4·9,81·1,3 = 69,99 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,9·69,99/1,3 − 0,9·9,81 = 39,62 N

Відповідь

T_top = 39,62 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 11,45 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 9,81·0,7071 = 6,937 N

F = μN = 0,15·6,937 = 1,041 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 1,041·11 = 11,45 J

Відповідь

W_f = 11,45 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 1,476 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 39,24·0,5 = 19,62 J

μ·m₁g·d = 0,4·49,05·0,5 = 9,81 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 9,81 → v = √(2·9,81/9) = 1,476 m/s

Відповідь

v = 1,476 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 267,5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,16) = 1,772 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 1,5)·1,772/0,01 = 267,5 m/s

Відповідь

v = 267,5 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 15,3 N·s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,45·(6 + 28) = 15,3 N·s

Відповідь

J = 15,3 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,8051 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,8/2π)² = 0,8051 m

Відповідь

L = 0,8051 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 1,903 J

Кутова частота

ω = √(470/1,1) = 20,67 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·470·0,09² = 1,903 J

Відповідь

E = 1,903 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₄ = 686 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·1/4 = 0,5 m

Частота

f = v/λ = 343/0,5 = 686 Hz

Відповідь

f₄ = 686 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: w = 45 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Перша темна смуга

y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·2,5/(0,05 × 10⁻³) = 22,5 mm

Ширина центрального максимуму

w = 2y₁ = 45 mm

Відповідь

w = 45 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics