Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 72 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,2 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 5,5 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 72 km/ht_r = 1,2 sa = −5,5 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 14 m/s з краю даху на висоті 15 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 14 m/sh₀ = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 10 m/s і зупиняється, пройшовши 13 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 10 m/sd = 13 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 6 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 3 kgm₂ = 6 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 40° над горизонталлю, і він падає на відстані 105 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 40°R = 105 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 18 m/s під кутом 65° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 15 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 18 m/sθ = 65°h = 15 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 1,3 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 40° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 1,3 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 0,6 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 0,6 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 4 kg ковзає 13 m похилою площиною під кутом 20° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,1. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 4 kgθ = 20°μ = 0,1d = 13 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 800 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2 kgh = 4 mL = 4 mμ = 0,3k = 800 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 5 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 19 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 3 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 48 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 2 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 5 kgu = 19 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 48 m/sm₂ = 2 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,4 kg ударяється об стіну зі швидкістю 11 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 4 m/s. Контакт триває 40 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,4 kgv_in = 11 m/sv_out = 4 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 0,2 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 0,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 1 s і амплітудою 6 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 6 cm до зміщення 5,4 cm?

T = 1 sA = 6 cmx = 5,4 cm

t = s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Спостерігач рухається зі швидкістю 5 м/с до нерухомого джерела частотою 400 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 400 Hzv = 343 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Ґратка з 400 лініями на міліметр показує максимум порядку 2 спектральної лінії під кутом 22,9° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 400 mm⁻¹θ₂ = 22,9°m = 2

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 60,36 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 20·1,2 = 24 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·5,5) = 36,36 m

Разом

d = 24 + 36,36 = 60,36 m

Відповідь

d = 60,36 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,684 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−15 = 14·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 14·t − 15 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (14 + √(14² + 2·9,81·15))/9,81 = 3,684 s

Відповідь

t = 3,684 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,3921

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 10²/(2·13) = 3,846 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3,846/9,81 = 0,3921

Відповідь

μ = 0,3921

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 6,213 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 2,943)/9 = 6,213 m/s²

Відповідь

a = 6,213 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 32,34 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·105/sin 80°) = 32,34 m/s

Відповідь

v₀ = 32,34 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 28,56 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 18·sin 65° = 16,31 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 16,31²/(2·9,81) = 13,56 m

Висота над землею

H = 15 + 13,56 = 28,56 m

Відповідь

H = 28,56 m

7.Рух по колу

Відповідь: T = 2,002 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 1,3·sin 40° = 0,8356 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,8356·9,81·tan 40°) = 2,623 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·0,8356/2,623 = 2,002 s

Відповідь

T = 2,002 s

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 2,426 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,6) = 2,426 m/s

Відповідь

v_min = 2,426 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 47,94 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 39,24·0,9397 = 36,87 N

F = μN = 0,1·36,87 = 3,687 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 3,687·13 = 47,94 J

Відповідь

W_f = 47,94 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 37,06 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 19,62·(4 − 0,3·4) = 54,94 J

Найбільше стиснення

½kx² = 54,94 → x = √(2·54,94/800) = 0,3706 m = 37,06 cm

Відповідь

x = 37,06 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −24,5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 5·19 = 95 kg·m/s

Імпульс після удару

95 = 3·48 + 2·v′₂

v′₂ = (95 − 144)/2 = −24,5 m/s

Відповідь

v′₂ = −24,5 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 6 N·s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,4·(4 + 11) = 6 N·s

Відповідь

J = 6 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 0,8971 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(0,2/9,81) = 0,8971 s

Відповідь

T = 0,8971 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,07178 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/1 = 6,283 rad/s

Виразіть час

0,9 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,9) = 0,451 rad

t = 0,451/6,283 = 0,07178 s

Відповідь

t = 0,07178 s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 405,8 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 400·(343 + 5)/(343 − 0)

f′ = 405,8 Hz

Відповідь

f′ = 405,8 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 486,4 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 2,5 × 10⁻⁶·sin 22,9°/2 = 486,4 nm

Відповідь

λ = 486,4 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics