Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 90 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 6,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 90 km/ha = −6,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 30 m/s² протягом 1 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 30 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Вантажі масами 7 kg і 4 kg висять по обидва боки легкого блока без тертя, з’єднані легкою ниткою. Систему відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 7 kgm₂ = 4 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 105 N тягне передній брусок масою 2 kg; брусок масою 12 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a брусків.

m₁ = 12 kgm₂ = 2 kgF = 105 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 50° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 20 m/sθ = 50°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 25 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 21 m/sθ = 15°h = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 125 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 125 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,2 kg на легкій нитці завдовжки 1,2 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 11 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,2 kgr = 1,2 mv_bottom = 11 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 1 kg ковзає 5 m похилою площиною під кутом 15° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,15. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 1 kgθ = 15°μ = 0,15d = 5 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Пружину жорсткістю 3000 N/m біля підніжжя схилу 40° стискають на 10 cm бруском масою 0,5 kg і відпускають. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і схилом 0,25. На яку відстань d угору схилом від точки відпускання переміститься брусок до зупинки? (Нехтуйте короткою ділянкою, на якій діє пружина, тобто враховуйте тертя й силу тяжіння на всій відстані d.)

m = 0,5 kgk = 3000 N/mx = 10 cmθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2,5 kg, що рухається зі швидкістю 11 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1700 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1500 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 10 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1700 kgm₂ = 1500 kgd = 10 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,5 kg на пружині з k = 440 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 6 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 1 cm від положення рівноваги.

m = 1,5 kgk = 440 N/mA = 6 cmx = 1 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 270 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 17 cm. Знайдіть його кінетичну енергію K, коли він на відстані 10 cm від положення рівноваги.

k = 270 N/mA = 17 cmx = 10 cm

K = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 30 см перед тонкою лінзою (розсіювальна) з фокусною відстанню 12 см. Знайдіть відстань до зображення d_i. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для розсіювальної лінзи, d_i < 0 для уявного зображення).

d_o = 30 cmf = −12 cm

d_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,46 і оболонку з n₂ = 1,44. Знайдіть найбільший кут θ_a до осі волокна, під яким світло з повітря може увійти в торець волокна й усе одно направлятися повним внутрішнім відбиттям.

n₁ = 1,46n₂ = 1,44n₀ = 1,00

θ_a = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 48,08 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·6,5) = 48,08 m

Відповідь

s = 48,08 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 60,87 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активна ділянка

v₁ = 30·1 = 30 m/s

h₁ = ½·30·1² = 15 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 30²/(2·9,81) = 45,87 m

h_max = 15 + 45,87 = 60,87 m

Відповідь

h_max = 60,87 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: T = 49,94 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Прискорення

Рушійна рівнодійна сила — це різниця ваг; вона рухає загальну масу.

a = (7 − 4)·9,81/(7 + 4) = 2,675 m/s²

Сила натягу з рівняння для легшого вантажу

T − m₂·g = m₂·a → T = 4·(9,81 + 2,675) = 49,94 N

Відповідь

T = 49,94 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,538 m/s²

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (105 − 27,47)/14 = 5,538 m/s²

Відповідь

a = 5,538 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 11,96 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 50° = 12,86 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 50° = 15,32 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 15,32²/(2·9,81) = 11,96 m

Відповідь

H = 11,96 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 2,879 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 15° = 20,28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 15° = 5,435 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 25 + 5,435·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5,435 + √(29,54 + 490,5))/9,81 = 2,879 s

Відповідь

t = 2,879 s

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 29,3 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·125) = 29,3 m/s

Відповідь

v_max = 29,3 m/s (105,5 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 62,14 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 11² − 4·9,81·1,2 = 73,91 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,2·73,91/1,2 − 1,2·9,81 = 62,14 N

Відповідь

T_top = 62,14 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 7,107 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 9,81·0,9659 = 9,476 N

F = μN = 0,15·9,476 = 1,421 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 1,421·5 = 7,107 J

Відповідь

W_f = 7,107 J

10.Робота й енергія

Відповідь: d = 3,665 m

Енергія пружини

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·3000·0,1² = 15 J

Енергетичний баланс уздовж площини

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 15/(4,905·(0,6428 + 0,25·0,766)) = 3,665 m

Відповідь

d = 3,665 m

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = −1,833 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2,5 − 3,5)/(2,5 + 3,5)·11 = −1,833 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 3,5)·11 = 9,167 m/s

Відповідь

v′₁ = −1,833 m/s

Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 23,58 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·10) = 12,53 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3200·12,53/1700 = 23,58 m/s

Відповідь

v₁ = 23,58 m/s

(84,9 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 1,013 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(440/1,5) = 17,13 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 17,13·√(0,06² − 0,01²) = 1,013 m/s

Відповідь

v = 1,013 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: K = 2,552 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·270·0,17² = 3,902 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·270·0,1² = 1,35 J

Кінетична енергія

K = 3,902 − 1,35 = 2,552 J

Відповідь

K = 2,552 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −8,571 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−12) − 1/30

d_i = −8,571 cm

Хід променів

уявне, з того самого боку, що й предмет

Відповідь

d_i = −8,571 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_a = 13,94 °

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,44/1,46 = 0,9863 → θc = 80,51°

Числова апертура

NA = √(1,46² − 1,44²) = 0,2408

Кут прийому

θ_a = arcsin(0,2408) = 13,94°

Відповідь

θ_a = 13,94°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics