Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 36 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3,5 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 36 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 40 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 25 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y над землею вони зустрінуться?

H = 40 mv_0B = 25 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 11 m/s і зупиняється, пройшовши 31 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 11 m/sd = 31 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 25° зі швидкістю 9,5 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 9,5 m/sθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 26 m/s, і він має впасти на відстані 55 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 26 m/sR = 55 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 22 m/s під кутом 60° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 4 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 22 m/sθ = 60°h_roof = 4 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 45 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 45 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 200 m має нахил полотна 18°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 200 mθ = 18°μ_s = 0,25g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 40 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,7. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 40 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Пружину жорсткістю 1000 N/m біля підніжжя схилу 35° стискають на 12 cm бруском масою 1 kg і відпускають. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і схилом 0,2. На яку відстань d угору схилом від точки відпускання переміститься брусок до зупинки? (Нехтуйте короткою ділянкою, на якій діє пружина, тобто враховуйте тертя й силу тяжіння на всій відстані d.)

m = 1 kgk = 1000 N/mx = 12 cmθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2,5 kg, що рухається зі швидкістю 3 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,5 kg ударяється об стіну зі швидкістю 24 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 19 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,5 kgv_in = 24 m/sv_out = 19 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,7 kg на пружині з k = 150 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 19 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 3 cm від положення рівноваги.

m = 1,7 kgk = 150 N/mA = 19 cmx = 3 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,3 kg на пружині з k = 240 N/m відтягують на 13 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 0,3 kgk = 240 N/mA = 13 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: довжина 1,2 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₂ для моди «гармоніка номер 2».

v = 343 m/sn = 2L = 1,2 m

f₂ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 550 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,08 мм. Знайдіть ширину w центрального світлого максимуму на екрані на відстані 3 м (між першими темними смугами з обох боків).

λ = 550 nma = 0,08 mmL = 3 m

w = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 2,857 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/3,5 = 2,857 s

Відповідь

t = 2,857 s

2.Кінематика

Відповідь: y = 27,44 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

40 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 40/25 = 1,6 s

Висота зустрічі

y = 25·1,6 − ½·9,81·1,6² = 27,44 m

Відповідь

y = 27,44 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,1989

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 11²/(2·31) = 1,952 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,952/9,81 = 0,1989

Відповідь

μ = 0,1989

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 8,962 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 25° + 0,1·cos 25°) = 5,035 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 9,5²/(2·5,035) = 8,962 m

Відповідь

d = 8,962 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 26,48 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·55/26² = 0,7982

Кут

2θ = 52,95° → θ = 26,48°

Відповідь

θ = 26,48°

Інший розв’язок 90° − θ = 63,52°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 40,28 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 11 m/s, v_y = 19,05 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

4 = 19,05·t − 4,905·t²

t = (19,05 + √(19,05² − 2·9,81·4))/9,81 = 3,662 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 11·3,662 = 40,28 m

Відповідь

x = 40,28 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 14,86 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·45) = 14,86 m/s

Відповідь

v_max = 14,86 m/s (53,48 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 35,04 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(200·9,81·0,5468/0,8738) = 35,04 m/s

Відповідь

v_max = 35,04 m/s

(126,1 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 8,989 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 40/3,6 = 11,11 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 11,11²/(2·0,7·9,81) = 8,989 m

Відповідь

d = 8,989 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: d = 0,9953 m

Енергія пружини

x = 12 cm = 0,12 m

½kx² = ½·1000·0,12² = 7,2 J

Енергетичний баланс уздовж площини

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 7,2/(9,81·(0,5736 + 0,2·0,8192)) = 0,9953 m

Відповідь

d = 0,9953 m

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 2,727 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2,5 − 3)/(2,5 + 3)·3 = −0,2727 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 3)·3 = 2,727 m/s

Відповідь

v′₂ = 2,727 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 21,5 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,5·(19 + 24) = 21,5 N·s

Відповідь

J = 21,5 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 1,762 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(150/1,7) = 9,393 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 9,393·√(0,19² − 0,03²) = 1,762 m/s

Відповідь

v = 1,762 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 104 m/s²

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(240/0,3) = 28,28 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,13·28,28² = 104 m/s²

Відповідь

a_max = 104 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₂ = 285,8 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·1,2/2 = 1,2 m

Частота

f = v/λ = 343/1,2 = 285,8 Hz

Відповідь

f₂ = 285,8 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: w = 41,25 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Перша темна смуга

y₁ = λL/a = 550 × 10⁻⁹·3/(0,08 × 10⁻³) = 20,63 mm

Ширина центрального максимуму

w = 2y₁ = 41,25 mm

Відповідь

w = 41,25 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics