Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 100 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4,5 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 100 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 17 m/s з краю даху на висоті 10 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 17 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Вантажі масами 9,5 kg і 5,5 kg висять по обидва боки легкого блока без тертя, з’єднані легкою ниткою. Систему відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a вантажів.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 5,5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 20° зі швидкістю 9,5 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 9,5 m/sθ = 20°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 70° над горизонталлю, і він падає на відстані 35 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 70°R = 35 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з вершини скелі висотою 25 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 13 m/sθ = 55°h = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 25 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 25 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,2 kg на легкій нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 9,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 0,2 kgr = 1,5 mv_bottom = 9,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 10 kg ковзає 4 m похилою площиною під кутом 40° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,15. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 10 kgθ = 40°μ = 0,15d = 4 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 5000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 0,5 kgh = 4,5 mL = 3,5 mμ = 0,1k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 12 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 1,5 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 13 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 12 gM = 1,5 kgh = 13 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 20 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 2 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 0,6 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 35° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 20 gM = 2 kgL = 0,6 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 2,4 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 2,4 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,7 kg на пружині з k = 120 N/m відтягують на 14 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 1,7 kgk = 120 N/mA = 14 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: гармоніка номер 2 має становити 286 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть довжину L труби.

v = 343 m/sn = 2f₂ = 286 Hz

L = m

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Ґратка з 800 лініями на міліметр показує максимум порядку 2 спектральної лінії під кутом 58,3° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 800 mm⁻¹θ₂ = 58,3°m = 2

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 6,173 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/4,5 = 6,173 s

Відповідь

t = 6,173 s

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,978 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−10 = 17·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 17·t − 10 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (17 + √(17² + 2·9,81·10))/9,81 = 3,978 s

Відповідь

t = 3,978 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,616 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Прискорення

Рушійна рівнодійна сила — це різниця ваг; вона рухає загальну масу.

a = (9,5 − 5,5)·9,81/(9,5 + 5,5) = 2,616 m/s²

Відповідь

a = 2,616 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 7,372 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 20° + 0,3·cos 20°) = 6,121 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 9,5²/(2·6,121) = 7,372 m

Відповідь

d = 7,372 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 23,11 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·35/sin 140°) = 23,11 m/s

Відповідь

v₀ = 23,11 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,591 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 55° = 7,456 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 55° = 10,65 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 25 + 10,65·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,65 + √(113,4 + 490,5))/9,81 = 3,591 s

Відповідь

t = 3,591 s

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 11,07 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·25) = 11,07 m/s

Відповідь

v_max = 11,07 m/s (39,87 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 2,223 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 9,5² − 4·9,81·1,5 = 31,39 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,2·31,39/1,5 − 0,2·9,81 = 2,223 N

Відповідь

T_top = 2,223 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 45,09 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 98,1·0,766 = 75,15 N

F = μN = 0,15·75,15 = 11,27 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 11,27·4 = 45,09 J

Відповідь

W_f = 45,09 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 9,023 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 4,905·(4,5 − 0,1·3,5) = 20,36 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4,15) = 9,023 m/s

Відповідь

v = 9,023 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 201,2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,13) = 1,597 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 1,5)·1,597/0,012 = 201,2 m/s

Відповідь

v = 201,2 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 147,4 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,6·(1 − cos 35°) = 0,1085 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,1085) = 1,459 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 2,02·1,459/0,02 = 147,4 m/s

Відповідь

v = 147,4 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 3,108 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(2,4/9,81) = 3,108 s

Відповідь

T = 3,108 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 1,176 J

Кутова частота

ω = √(120/1,7) = 8,402 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·120·0,14² = 1,176 J

Відповідь

E = 1,176 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: L = 1,199 m

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 343/286 = 1,199 m

Довжина

L = nλ/2 = 2·1,199/2 = 1,199 m

Відповідь

L = 1,199 m

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 531,8 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 1,25 × 10⁻⁶·sin 58,3°/2 = 531,8 nm

Відповідь

λ = 531,8 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics