Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 1,75 m/s². Знайдіть його швидкість v через 700 m.

v₀ = 0a = 1,75 m/s²s = 700 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 2,3 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 2,3 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 10 m/s і зупиняється, пройшовши 34 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 10 m/sd = 34 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 8 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 8 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 34 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з вершини скелі висотою 55 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 21 m/sθ = 45°h = 55 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 40 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 40 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,6 kg на легкій нитці завдовжки 1,4 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 10,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 0,6 kgr = 1,4 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 15 m вздовж площини.

θ = 45°μ = 0,15d = 15 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,2). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 1 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 2 m.

m₁ = 4 kgm₂ = 1 kgμ = 0,2d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 800 kg, що рухається зі швидкістю 20 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1400 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 800 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 5 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 2 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 0,5 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 40° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 5 gM = 2 kgL = 0,5 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1 kg на пружині з k = 290 N/m відтягують на 13 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 1,15 s (зі знаком).

m = 1 kgk = 290 N/mA = 13 cmt = 1,15 s

x = cm

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,7 kg на пружині з k = 330 N/m відтягують на 12 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 2,7 kgk = 330 N/mA = 12 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Джерело частотою 1000 Гц, що рухається зі швидкістю 10 м/с, і спостерігач, що рухається зі швидкістю 10 м/с, віддаляються один від одного. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 600 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,08 мм. Знайдіть ширину w центрального світлого максимуму на екрані на відстані 1,5 м (між першими темними смугами з обох боків).

λ = 600 nma = 0,08 mmL = 1,5 m

w = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 49,5 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·1,75·700) = 49,5 m/s

Відповідь

v = 49,5 m/s

(178,2 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: d = 24,37 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(2,3 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 788,9 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·788,9))/(2·4,905) = 2,229 s

Глибина

d = ½·9,81·2,229² = 24,37 m

Відповідь

d = 24,37 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,1499

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 10²/(2·34) = 1,471 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,471/9,81 = 0,1499

Відповідь

μ = 0,1499

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 20,55 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 7,848)/10,5 = 1,588 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8·1,588 + 7,848 = 20,55 N

Відповідь

T = 20,55 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 6,892 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 20° = 31,95 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 20° = 11,63 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 11,63²/(2·9,81) = 6,892 m

Відповідь

H = 6,892 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 77,05 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 45° = 14,85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 45° = 14,85 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 55 + 14,85·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (14,85 + √(220,5 + 1079))/9,81 = 5,189 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 14,85·5,189 = 77,05 m

Відповідь

x = 77,05 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 16,57 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·40) = 16,57 m/s

Відповідь

v_max = 16,57 m/s (59,66 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 17,82 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·1,4 = 55,31 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,6·55,31/1,4 − 0,6·9,81 = 17,82 N

Відповідь

T_top = 17,82 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 13,3 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·15·(0,7071 − 0,15·0,7071)) = 13,3 m/s

Відповідь

v = 13,3 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 1,253 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 9,81·2 = 19,62 J

μ·m₁g·d = 0,2·39,24·2 = 15,7 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 3,924 → v = √(2·3,924/5) = 1,253 m/s

Відповідь

v = 1,253 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 101818 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·20/2200 = 7,273 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·800·20² = 160000 J

K_after = ½·2200·7,273² = 58182 J

Втрачена енергія

ΔK = 160000 − 58182 = 101818 J

Відповідь

ΔK = 101818 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 607,5 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,5·(1 − cos 40°) = 0,117 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,117) = 1,515 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 2,005·1,515/0,005 = 607,5 m/s

Відповідь

v = 607,5 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: x = 9,65 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(290/1) = 17,03 rad/s

ω·t = 17,03·1,15 = 19,58 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 13·cos(19,58) = 9,65 cm

Відповідь

x = 9,65 cm

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 14,67 m/s²

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(330/2,7) = 11,06 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,12·11,06² = 14,67 m/s²

Відповідь

a_max = 14,67 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 943,3 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1000·(343 − 10)/(343 + 10)

f′ = 943,3 Hz

Відповідь

f′ = 943,3 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: w = 22,5 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Перша темна смуга

y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·1,5/(0,08 × 10⁻³) = 11,25 mm

Ширина центрального максимуму

w = 2y₁ = 22,5 mm

Відповідь

w = 22,5 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics