Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 60 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 60 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 6 m/s з краю даху на висоті 30 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 6 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 8 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 40° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 8 kgθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2 kg на похилій площині з кутом 30° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 6 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Тертя на похилій площині відсутнє. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 2 kgm₂ = 6 kgθ = 30°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 40 m/s під кутом 35° над горизонталлю в бік стіни на відстані 107 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 40 m/sθ = 35°x = 107 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 35 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 34 m/sθ = 15°h = 35 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 1,5 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 60° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кульки.

L = 1,5 mθ = 60°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Невеликий візок відпускають без початкової швидкості на трасі без тертя, і він в’їжджає у вертикальну петлю радіусом 5,5 m. З якої мінімальної висоти h_min над нижньою точкою петлі він має стартувати, щоб утриматися на трасі у верхній точці петлі?

R = 5,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 1 kg ковзає 6 m похилою площиною під кутом 40° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,1. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 1 kgθ = 40°μ = 0,1d = 6 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 20° і його тягнуть угору сталою силою 25 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 8 m угору схилом.

m = 2 kgF = 25 Nθ = 20°μ = 0,25d = 8 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 12 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 2 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 5 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 12 gM = 2 kgh = 5 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,3 kg ударяється об стіну зі швидкістю 14 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 18 m/s. Контакт триває 40 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,3 kgv_in = 14 m/sv_out = 18 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 0,4 kg на пружині з k = 300 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 18 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 13 cm від положення рівноваги.

m = 0,4 kgk = 300 N/mA = 18 cmx = 13 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 15 g, що летить зі швидкістю 400 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 2 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 200 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 15 gv = 400 m/sM = 2 kgk = 200 N/m

A = cm

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Світло поширюється в середовищі «кронове скло» (n = 1,50) до плоскої межі із середовищем «повітря» (n = 1,00). Знайдіть критичний кут θ_c, за яким воно повністю відбивається.

n₁ = 1,50n₂ = 1,00

θ_c = °

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 656 нм падає під прямим кутом на ґратку з 500 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₃ максимуму порядку 3.

N = 500 mm⁻¹λ = 656 nmm = 3

θ₃ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 4,167 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16,67/4 = 4,167 s

Відповідь

t = 4,167 s

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,159 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−30 = 6·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 6·t − 30 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (6 + √(6² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,159 s

Відповідь

t = 3,159 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,427 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 40° − 0,25·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1915) = 4,427 m/s²

Відповідь

a = 4,427 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 6,131 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж нитки

m₂·g = 58,86 N

m₁·g·sin θ = 9,81 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Прискорення системи

a = (58,86 − 9,81 − 0)/8 = 6,131 m/s²

Відповідь

a = 6,131 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 22,62 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 40·cos 35° = 32,77 m/s

t = x/v_x = 107/32,77 = 3,266 s

Висота в цей момент

y = 22,94·3,266 − ½·9,81·3,266² = 22,62 m

Відповідь

y = 22,62 m

Біля стіни м’яч уже падає.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,715 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 15° = 32,84 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 15° = 8,8 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 35 + 8,8·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,8 + √(77,44 + 686,7))/9,81 = 3,715 s

Відповідь

t = 3,715 s

7.Рух по колу

Відповідь: v = 4,698 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 1,5·sin 60° = 1,299 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1,299·9,81·tan 60°) = 4,698 m/s

Відповідь

v = 4,698 m/s

8.Рух по колу

Відповідь: h_min = 13,75 m

Умова у верхній точці

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон збереження енергії

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·5,5 = 13,75 m

Відповідь

h_min = 13,75 m

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 4,509 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 9,81·0,766 = 7,515 N

F = μN = 0,1·7,515 = 0,7515 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 0,7515·6 = 4,509 J

Відповідь

W_f = 4,509 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 10,46 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 2·9,81 = 19,62 N

mg·sin θ = 6,71 N

μ·mg·cos θ = 4,609 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (25 − 11,32)·8 = 109,4 J

v = √(2·109,4/2) = 10,46 m/s

Відповідь

v = 10,46 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 166,1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,05) = 0,9905 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 2)·0,9905/0,012 = 166,1 m/s

Відповідь

v = 166,1 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 9,6 N·s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,3·(18 + 14) = 9,6 N·s

Відповідь

J = 9,6 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 3,41 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(300/0,4) = 27,39 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 27,39·√(0,18² − 0,13²) = 3,41 m/s

Відповідь

v = 3,41 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: A = 29,89 cm

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,015·400/2,015 = 2,978 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(200/2,015) = 9,963 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 2,978/9,963 = 0,2989 m = 29,89 cm

Відповідь

A = 29,89 cm

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_c = 41,81 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Заломлення на 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/1,50 = 0,6667

Критичний кут

θc = arcsin(0,6667) = 41,81°

Відповідь

θ_c = 41,81°

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₃ = 79,74 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/500 mm = 2 × 10⁻⁶ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 3·656 × 10⁻⁹/(2 × 10⁻⁶) = 0,984

θ = 79,74°

Відповідь

θ₃ = 79,74°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics