Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 100 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,2 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 100 km/ht_r = 1,2 sa = −8 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 45 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 27 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Коли кульки зустрінуться? Знайдіть t.

H = 45 mv_0B = 27 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 20 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 45° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 20 kgθ = 45°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 9 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 9 kgm₂ = 3 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 35° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 34 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 20 m/s під кутом 45° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 7 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 20 m/sθ = 45°h_roof = 7 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль масою 1300 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 19 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 65 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 1300 kgv = 19 m/sr = 65 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,7 kg на легкій нитці завдовжки 0,6 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 10,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 0,7 kgr = 0,6 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 13 m вздовж площини.

θ = 25°μ = 0,25d = 13 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2,5 kgh = 4 mL = 3 mμ = 0,2k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 5 kg, що рухається зі швидкістю 2 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,15 kg ударяється об стіну зі швидкістю 19 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 20 m/s. Контакт триває 5 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,15 kgv_in = 19 m/sv_out = 20 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 2,4 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 2,4 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 370 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 8 cm. Знайдіть його кінетичну енергію K, коли він на відстані 2 cm від положення рівноваги.

k = 370 N/mA = 8 cmx = 2 cm

K = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,8 м, хвилі поширюються зі швидкістю 100 м/с. Знайдіть частоту f₂ для моди «гармоніка номер 2».

v = 100 m/sn = 2L = 0,8 m

f₂ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві щілини на відстані 0,1 мм одна від одної освітлено монохроматичним світлом. На екрані на відстані 2 м світла смуга номер 1 лежить на 10 мм від центральної смуги. Знайдіть довжину хвилі λ.

d = 0,1 mmL = 2 my₁ = 10 mmm = 1

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 81,56 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 27,78·1,2 = 33,33 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·8) = 48,23 m

Разом

d = 33,33 + 48,23 = 81,56 m

Відповідь

d = 81,56 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 1,667 s

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

45 − ½g·t² = 27·t − ½g·t² → t = 45/27 = 1,667 s

Відповідь

t = 1,667 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,856 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 45° − 0,3·cos 45°) = 9,81·(0,7071 − 0,2121) = 4,856 m/s²

Відповідь

a = 4,856 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 0,981 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (29,43 − 17,66)/12 = 0,981 m/s²

Відповідь

a = 0,981 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,976 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 35° = 27,85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 35° = 19,5 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·19,5/9,81 = 3,976 s

Відповідь

t = 3,976 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 31,8 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 14,14 m/s, v_y = 14,14 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

7 = 14,14·t − 4,905·t²

t = (14,14 + √(14,14² − 2·9,81·7))/9,81 = 2,249 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 14,14·2,249 = 31,8 m

Відповідь

x = 31,8 m

7.Рух по колу

Відповідь: N = 5533 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r

N = 1300·9,81 − 1300·19²/65 = 12753 − 7220 = 5533 N

Відповідь

N = 5533 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 94,29 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·0,6 = 86,71 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,7·86,71/0,6 − 0,7·9,81 = 94,29 N

Відповідь

T_top = 94,29 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 7,071 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·13·(0,4226 − 0,25·0,9063)) = 7,071 m/s

Відповідь

v = 7,071 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 40,84 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(4 − 0,2·3) = 83,39 J

Найбільше стиснення

½kx² = 83,39 → x = √(2·83,39/1000) = 0,4084 m = 40,84 cm

Відповідь

x = 40,84 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 0,2222 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·2 = 0,2222 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·2 = 2,222 m/s

Відповідь

v′₁ = 0,2222 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 5,85 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,15·(20 + 19) = 5,85 N·s

Відповідь

J = 5,85 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 3,108 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(2,4/9,81) = 3,108 s

Відповідь

T = 3,108 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: K = 1,11 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·370·0,08² = 1,184 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·370·0,02² = 0,074 J

Кінетична енергія

K = 1,184 − 0,074 = 1,11 J

Відповідь

K = 1,11 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₂ = 125 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,8/2 = 0,8 m

Частота

f = v/λ = 100/0,8 = 125 Hz

Відповідь

f₂ = 125 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 500 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = y·d/(mL) = 0,01·0,0001/(1·2) = 5 × 10⁻⁷ m = 500 nm

Відповідь

λ = 500 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics