Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 50 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 50 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 11 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 11 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 3,5 m/s і зупиняється, пройшовши 3,1 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 3,5 m/sd = 3,1 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 25° зі швидкістю 7,5 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 7,5 m/sθ = 25°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 75° над горизонталлю, і він падає на відстані 85 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 75°R = 85 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з вершини скелі висотою 60 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 33 m/sθ = 55°h = 60 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль масою 1700 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 16 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 35 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 1700 kgv = 16 m/sr = 35 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 3,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 23,5 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_top траси на візок у верхній точці петлі.

m = 3,5 kgh = 23,5 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 0,5 kg висить на легкій нитці завдовжки 2 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 90° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 0,5 kgL = 2 mθ = 90°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Пружину жорсткістю 800 N/m біля підніжжя схилу 20° стискають на 10 cm бруском масою 0,5 kg і відпускають. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і схилом 0,2. На яку відстань d угору схилом від точки відпускання переміститься брусок до зупинки? (Нехтуйте короткою ділянкою, на якій діє пружина, тобто враховуйте тертя й силу тяжіння на всій відстані d.)

m = 0,5 kgk = 800 N/mx = 10 cmθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 16 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 35 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 12 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 49 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 4 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 16 kgu = 35 m/sm₁ = 12 kgv′₁ = 49 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,3 kg ударяється об стіну зі швидкістю 16 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 9 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,3 kgv_in = 16 m/sv_out = 9 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 0,8 kg на пружині з k = 310 N/m відтягують на 12 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 0,9 s (зі знаком).

m = 0,8 kgk = 310 N/mA = 12 cmt = 0,9 s

x = cm

14.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 2,4 s і амплітудою 7 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 7 cm до зміщення 4,9 cm?

T = 2,4 sA = 7 cmx = 4,9 cm

t = s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 4 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 10 см. Знайдіть відстань до зображення d_i. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для розсіювальної лінзи, d_i < 0 для уявного зображення).

d_o = 4 cmf = 10 cm

d_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 480 нм падає на дві щілини на відстані 0,2 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 2,5 м. Знайдіть відстань Δy між сусідніми світлими смугами.

λ = 480 nmd = 0,2 mmL = 2,5 m

Δy = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 12,86 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 50/3,6 = 13,89 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 13,89²/(2·7,5) = 12,86 m

Відповідь

s = 12,86 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 26,17 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 11²/(2·9,81) = 6,167 m

Висота над землею

h_max = 20 + 6,167 = 26,17 m

Відповідь

h_max = 26,17 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,2014

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 3,5²/(2·3,1) = 1,976 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,976/9,81 = 0,2014

Відповідь

μ = 0,2014

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 4,748 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 25° + 0,2·cos 25°) = 5,924 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 7,5²/(2·5,924) = 4,748 m

Відповідь

d = 4,748 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 40,84 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·85/sin 150°) = 40,84 m/s

Відповідь

v₀ = 40,84 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 7,208 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 55° = 18,93 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 55° = 27,03 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 60 + 27,03·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (27,03 + √(730,7 + 1177))/9,81 = 7,208 s

Відповідь

t = 7,208 s

7.Рух по колу

Відповідь: N = 4243 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r

N = 1700·9,81 − 1700·16²/35 = 16677 − 12434 = 4243 N

Відповідь

N = 4243 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: N_top = 151,1 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·(23,5 − 2·5) = 264,9 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R − m·g = 3,5·264,9/5 − 34,34 = 151,1 N

Відповідь

N_top = 151,1 N

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 14,71 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 90°) = 39,24 m²/s²

Сили внизу

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·39,24/2 = 14,71 N

Відповідь

T = 14,71 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 14,71 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: d = 1,539 m

Енергія пружини

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·800·0,1² = 4 J

Енергетичний баланс уздовж площини

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 4/(4,905·(0,342 + 0,2·0,9397)) = 1,539 m

Відповідь

d = 1,539 m

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 16·35 = 560 kg·m/s

Імпульс після удару

560 = 12·49 + 4·v′₂

v′₂ = (560 − 588)/4 = −7 m/s

Відповідь

v′₂ = −7 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 375 N

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,3·(9 + 16) = 7,5 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 7,5/0,02 = 375 N

Відповідь

F_avg = 375 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: x = 5,087 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(310/0,8) = 19,69 rad/s

ω·t = 19,69·0,9 = 17,72 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 12·cos(17,72) = 5,087 cm

Відповідь

x = 5,087 cm

14.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,3038 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/2,4 = 2,618 rad/s

Виразіть час

0,7 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,7) = 0,7954 rad

t = 0,7954/2,618 = 0,3038 s

Відповідь

t = 0,3038 s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −6,667 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/4

d_i = −6,667 cm

Хід променів

уявне, з того самого боку, що й предмет

Відповідь

d_i = −6,667 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: Δy = 6 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·2,5/(0,2 × 10⁻³) = 6 mm

Відповідь

Δy = 6 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics