Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 100 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 3,5 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 100 km/ha = −3,5 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 6 m/s з краю даху на висоті 30 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 6 m/sh₀ = 30 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Вантажі масами 6 kg і 2,5 kg висять по обидва боки легкого блока без тертя, з’єднані легкою ниткою. Систему відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a вантажів.

m₁ = 6 kgm₂ = 2,5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 30° зі швидкістю 7,5 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 7,5 m/sθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 10 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з вершини скелі висотою 30 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 11 m/sθ = 20°h = 30 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 20 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,6. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 20 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 2 kg на нитці завдовжки 1 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 7 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 2 kgr = 1 mv = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 10 kg ковзає 8 m похилою площиною під кутом 45° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,25. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 10 kgθ = 45°μ = 0,25d = 8 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 13 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 5 m. Знайдіть силу нормальної реакції N, з якою траса діє на візок у верхній точці петлі.

m = 0,5 kgh = 13 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 5 kg, що рухається зі швидкістю 2 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 1 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 900 kg, що їде на схід зі швидкістю 18 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1100 kg, що їде на північ зі швидкістю 15 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.

m₁ = 900 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 15 m/s (N)

θ = °

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 3,1 kg на пружині з k = 80 N/m відтягують на 5 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 0,35 s (зі знаком).

m = 3,1 kgk = 80 N/mA = 5 cmt = 0,35 s

x = cm

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,8 kg на пружині з k = 290 N/m відтягують на 19 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 0,8 kgk = 290 N/mA = 19 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Світло поширюється в середовищі «алмаз» (n = 2,42) до плоскої межі із середовищем «вода» (n = 1,33). Знайдіть критичний кут θ_c, за яким воно повністю відбивається.

n₁ = 2,42n₂ = 1,33

θ_c = °

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 600 нм падає під прямим кутом на ґратку з 200 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₃ максимуму порядку 3.

N = 200 mm⁻¹λ = 600 nmm = 3

θ₃ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 7,937 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27,78/3,5 = 7,937 s

Відповідь

t = 7,937 s

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,159 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−30 = 6·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 6·t − 30 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (6 + √(6² + 2·9,81·30))/9,81 = 3,159 s

Відповідь

t = 3,159 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,039 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Прискорення

Рушійна рівнодійна сила — це різниця ваг; вона рухає загальну масу.

a = (6 − 2,5)·9,81/(6 + 2,5) = 4,039 m/s²

Відповідь

a = 4,039 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 4,001 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 30° + 0,25·cos 30°) = 7,029 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 7,5²/(2·7,029) = 4,001 m

Відповідь

d = 4,001 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 1,442 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 45° = 7,071 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 45° = 7,071 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·7,071/9,81 = 1,442 s

Відповідь

t = 1,442 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 29,83 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 11·cos 20° = 10,34 m/s

v_y = v₀·sin θ = 11·sin 20° = 3,762 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 30 + 3,762·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3,762 + √(14,15 + 588,6))/9,81 = 2,886 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 10,34·2,886 = 29,83 m

Відповідь

x = 29,83 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 10,85 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·20) = 10,85 m/s

Відповідь

v_max = 10,85 m/s (39,06 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 117,6 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9,81 + 2·7²/1 = 19,62 + 98 = 117,6 N

Відповідь

T = 117,6 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 138,7 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 98,1·0,7071 = 69,37 N

F = μN = 0,25·69,37 = 17,34 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 17,34·8 = 138,7 J

Відповідь

W_f = 138,7 J

10.Робота й енергія

Відповідь: N = 0,981 N

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(13 − 10) = 58,86 m²/s²

Сили у верхній точці

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

N = mv²/R − mg = 0,5·58,86/5 − 4,905 = 0,981 N

Відповідь

N = 0,981 N

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 3,333 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (5 − 1)/(5 + 1)·2 = 1,333 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1)·2 = 3,333 m/s

Відповідь

v′₂ = 3,333 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: θ = 45,53 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Складові імпульсу

p_x = 900·18 = 16200 kg·m/s

p_y = 1100·15 = 16500 kg·m/s

Напрямок

tan θ = p_y/p_x = 1,019 → θ = 45,53°

Відповідь

θ = 45,53°

13.Пружини й маятники

Відповідь: x = −1,029 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(80/3,1) = 5,08 rad/s

ω·t = 5,08·0,35 = 1,778 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 5·cos(1,778) = −1,029 cm

Відповідь

x = −1,029 cm

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 5,235 J

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(290/0,8) = 19,04 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·290·0,19² = 5,235 J

Відповідь

E = 5,235 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_c = 33,34 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Заломлення на 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,33/2,42 = 0,5496

Критичний кут

θc = arcsin(0,5496) = 33,34°

Відповідь

θ_c = 33,34°

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₃ = 21,1 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 3·600 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0,36

θ = 21,1°

Відповідь

θ₃ = 21,1°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics