Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 54 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 54 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 2 m/s² протягом 11 s, потім їде зі сталою швидкістю 12 s і нарешті гальмує з прискоренням 4,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повний час руху t.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 11 st₂ = 12 sa₃ = −4,5 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 5 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 40° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 5 kgθ = 40°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 6 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 6 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 22 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 31 m/s під кутом 40° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 3 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 31 m/sθ = 40°h_roof = 3 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 2 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу частоту обертання n в обертах за хвилину.

r = 2 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 270 m має нахил полотна 10°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 270 mθ = 10°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2,5 kg ковзає 19 m похилою площиною під кутом 45° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,3. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2,5 kgθ = 45°μ = 0,3d = 19 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 5 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 1500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 10 kgh = 1 mL = 5 mμ = 0,1k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1400 kg, що рухається зі швидкістю 15 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1900 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 1400 kgv₁ = 15 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1500 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1400 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 4 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1500 kgm₂ = 1400 kgd = 4 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,7 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,7 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,9 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 180 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільше видовження x_max пружини в cm.

m = 2,9 kgk = 180 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 25 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 12 см. Знайдіть відстань до зображення d_i. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для розсіювальної лінзи, d_i < 0 для уявного зображення).

d_o = 25 cmf = 12 cm

d_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 550 нм падає під прямим кутом на ґратку з 500 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₁ максимуму порядку 1.

N = 500 mm⁻¹λ = 550 nmm = 1

θ₁ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 20,45 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·5,5) = 20,45 m

Відповідь

s = 20,45 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 27,89 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 2·11 = 22 m/s

Час гальмування

t₃ = v/a₃ = 22/4,5 = 4,889 s

Загальний час

t = 11 + 12 + 4,889 = 27,89 s

Відповідь

t = 27,89 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,554 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 40° − 0,1·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,0766) = 5,554 m/s²

Відповідь

a = 5,554 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 23,85 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 5,886)/9,5 = 2,995 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·2,995 + 5,886 = 23,85 N

Відповідь

T = 23,85 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 31,71 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 20° = 20,67 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 20° = 7,524 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·7,524/9,81 = 1,534 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 20,67·1,534 = 31,71 m

Відповідь

x = 31,71 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 92,75 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 23,75 m/s, v_y = 19,93 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

3 = 19,93·t − 4,905·t²

t = (19,93 + √(19,93² − 2·9,81·3))/9,81 = 3,906 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 23,75·3,906 = 92,75 m

Відповідь

x = 92,75 m

7.Рух по колу

Відповідь: n = 33,44 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,4·2)) = 3,502 rad/s

Частота обертання

n = ω·60/(2π) = 33,44 rpm

Відповідь

n = 33,44 rpm

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 40,53 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(270·9,81·0,5676/0,9153) = 40,53 m/s

Відповідь

v_max = 40,53 m/s

(145,9 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 98,85 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 24,53·0,7071 = 17,34 N

F = μN = 0,3·17,34 = 5,203 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 5,203·19 = 98,85 J

Відповідь

W_f = 98,85 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 3,132 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 98,1·(1 − 0,1·5) = 49,05 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·0,5) = 3,132 m/s

Відповідь

v = 3,132 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 90682 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·15/3300 = 6,364 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1400·15² = 157500 J

K_after = ½·3300·6,364² = 66818 J

Втрачена енергія

ΔK = 157500 − 66818 = 90682 J

Відповідь

ΔK = 90682 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 15,32 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·4) = 7,924 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2900·7,924/1500 = 15,32 m/s

Відповідь

v₁ = 15,32 m/s

(55,15 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,7181 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,7/2π)² = 0,7181 m

Відповідь

L = 0,7181 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: x_max = 31,61 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Положення рівноваги й амплітуда

x₀ = m·g/k = 2,9·9,81/180 = 0,158 m = A

Найнижча точка

x_max = 2A = 0,3161 m = 31,61 cm

Відповідь

x_max = 31,61 cm

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = 23,08 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/12 − 1/25

d_i = 23,08 cm

Хід променів

дійсне, з іншого боку лінзи

Відповідь

d_i = 23,08 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₁ = 15,96 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/500 mm = 2 × 10⁻⁶ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 1·550 × 10⁻⁹/(2 × 10⁻⁶) = 0,275

θ = 15,96°

Відповідь

θ₁ = 15,96°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics