Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 33 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 3,5 m/s². На якій відстані від точки старту поліцейський автомобіль наздожене порушника? Знайдіть d.

v_car = 33 m/sa_police = 3,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 50 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 26 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Коли кульки зустрінуться? Знайдіть t.

H = 50 mv_0B = 26 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 30 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 40° над горизонталлю із силою 200 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 30 kgF = 200 Nθ = 40°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 135 N тягне передній брусок масою 10 kg; брусок масою 5 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,15. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.

m₁ = 5 kgm₂ = 10 kgF = 135 Nμ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 14 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 21 m/s під кутом 60° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 35 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 21 m/sθ = 60°h = 35 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 0,7 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 30° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 0,7 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 2 kg на нитці завдовжки 1,4 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 8 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 2 kgr = 1,4 mv = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2 kg ковзає 6 m похилою площиною під кутом 30° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,3. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2 kgθ = 30°μ = 0,3d = 6 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Пружину жорсткістю 2000 N/m біля підніжжя схилу 30° стискають на 5 cm бруском масою 0,5 kg і відпускають. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і схилом 0,25. На яку відстань d угору схилом від точки відпускання переміститься брусок до зупинки? (Нехтуйте короткою ділянкою, на якій діє пружина, тобто враховуйте тертя й силу тяжіння на всій відстані d.)

m = 0,5 kgk = 2000 N/mx = 5 cmθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

d = m

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2,5 kg, що рухається зі швидкістю 6 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,5 kg ударяється об стіну зі швидкістю 22 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 8 m/s. Контакт триває 50 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,5 kgv_in = 22 m/sv_out = 8 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 1,7 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 1,7 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2 kg на пружині з k = 390 N/m відтягують на 7 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 2 kgk = 390 N/mA = 7 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Одна машина дає рівень звуку 70 дБ у певній точці. Знайдіть рівень β у цій точці, коли одночасно працюють 5 однакових машин (некогерентні джерела).

β₁ = 70 dBn = 5

β = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 650 нм падає на дві щілини на відстані 0,4 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 2,5 м. Знайдіть відстань y₄ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 4.

λ = 650 nmd = 0,4 mmL = 2,5 mm = 4

y₄ = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 622,3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·33/3,5 = 18,86 s

Шлях

d = v·t = 33·18,86 = 622,3 m

Відповідь

d = 622,3 m

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 66 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: t = 1,923 s

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

50 − ½g·t² = 26·t − ½g·t² → t = 50/26 = 1,923 s

Відповідь

t = 1,923 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,45 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 294,3 − 200·sin 40° = 165,7 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 153,2 − 49,72

a = 103,5/30 = 3,45 m/s²

Відповідь

a = 3,45 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 45 N

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (135 − 22,07)/15 = 7,529 m/s²

Лише задній брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 5·(7,529 + 1,472) = 45 N

Відповідь

T = 45 N

За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 2,018 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 45° = 9,899 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 45° = 9,899 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·9,899/9,81 = 2,018 s

Відповідь

t = 2,018 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 51,86 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 21·sin 60° = 18,19 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 18,19²/(2·9,81) = 16,86 m

Висота над землею

H = 35 + 16,86 = 51,86 m

Відповідь

H = 51,86 m

7.Рух по колу

Відповідь: T = 1,562 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 0,7·sin 30° = 0,35 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,35·9,81·tan 30°) = 1,408 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·0,35/1,408 = 1,562 s

Відповідь

T = 1,562 s

8.Рух по колу

Відповідь: T = 111 N

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9,81 + 2·8²/1,4 = 19,62 + 91,43 = 111 N

Відповідь

T = 111 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 30,58 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 19,62·0,866 = 16,99 N

F = μN = 0,3·16,99 = 5,097 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 5,097·6 = 30,58 J

Відповідь

W_f = 30,58 J

10.Робота й енергія

Відповідь: d = 0,7113 m

Енергія пружини

x = 5 cm = 0,05 m

½kx² = ½·2000·0,05² = 2,5 J

Енергетичний баланс уздовж площини

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 2,5/(4,905·(0,5 + 0,25·0,866)) = 0,7113 m

Відповідь

d = 0,7113 m

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 4 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2,5 − 5)/(2,5 + 5)·6 = −2 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 5)·6 = 4 m/s

Відповідь

v′₂ = 4 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 300 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,5·(8 + 22) = 15 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 15/0,05 = 300 N

Відповідь

F_avg = 300 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,616 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(1,7/9,81) = 2,616 s

Відповідь

T = 2,616 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 0,9555 J

Кутова частота

ω = √(390/2) = 13,96 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·390·0,07² = 0,9555 J

Відповідь

E = 0,9555 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β = 76,99 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Загальна інтенсивність

I = 5·I₁

Рівень

β = 70 + 10·log₁₀(5) = 76,99 dB

Відповідь

β = 76,99 dB

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₄ = 16,25 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 650 × 10⁻⁹·2,5/(0,4 × 10⁻³) = 4,063 mm

Смуга номер 4

y₄ = 4·4,063 = 16,25 mm

Відповідь

y₄ = 16,25 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics