Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 16 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 5,5 m/s². На якій відстані від точки старту поліцейський автомобіль наздожене порушника? Знайдіть d.

v_car = 16 m/sa_police = 5,5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 36 m/s² протягом 1,5 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 36 m/s²t₁ = 1,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 5 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 30° над горизонталлю із силою 40 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 5 kgF = 40 Nθ = 30°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 5,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 15° над горизонталлю, і він падає на відстані 95 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 15°R = 95 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 17 m/s під кутом 40° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 30 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v, з якою він ударяється об землю.

v₀ = 17 m/sθ = 40°h = 30 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 135 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 135 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Невеликий візок відпускають без початкової швидкості на трасі без тертя, і він в’їжджає у вертикальну петлю радіусом 8 m. З якої мінімальної висоти h_min над нижньою точкою петлі він має стартувати, щоб утриматися на трасі у верхній точці петлі?

R = 8 mv₀ = 0

h_min = m

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 11 m вздовж площини.

θ = 30°μ = 0,15d = 11 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 10 kgh = 4,5 mL = 3,5 mμ = 0,25k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1400 kg, що рухається зі швидкістю 6 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 500 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 1400 kgv₁ = 6 m/sm₂ = 500 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,25 kg ударяється об стіну зі швидкістю 21 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 15 m/s. Контакт триває 40 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,25 kgv_in = 21 m/sv_out = 15 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 0,7 m має період 1,77 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 0,7 mT = 1,77 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2 kg на пружині з k = 400 N/m відтягують на 12 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 2 kgk = 400 N/mA = 12 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 70 дБ на відстані 2 м від нього. Знайдіть рівень β₂ на відстані 10 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.

β₁ = 70 dBr₁ = 2 mr₂ = 10 m

β₂ = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дифракційна ґратка має 200 ліній на міліметр. Світло з довжиною хвилі 532 нм падає на неї під прямим кутом. Який найвищий порядок m_max світлого максимуму можна побачити?

N = 200 mm⁻¹λ = 532 nm

m_max =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 93,09 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·16/5,5 = 5,818 s

Шлях

d = v·t = 16·5,818 = 93,09 m

Відповідь

d = 93,09 m

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 32 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 189,1 m

Активна ділянка

v₁ = 36·1,5 = 54 m/s

h₁ = ½·36·1,5² = 40,5 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 54²/(2·9,81) = 148,6 m

h_max = 40,5 + 148,6 = 189,1 m

Відповідь

h_max = 189,1 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,604 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 49,05 − 40·sin 30° = 29,05 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 34,64 − 11,62

a = 23,02/5 = 4,604 m/s²

Відповідь

a = 4,604 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 27,28 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 16,19)/9 = 2,017 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5,5·2,017 + 16,19 = 27,28 N

Відповідь

T = 27,28 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 43,17 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·95/sin 30°) = 43,17 m/s

Відповідь

v₀ = 43,17 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v = 29,62 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 17·cos 40° = 13,02 m/s

v_y0 = 17·sin 40° = 10,93 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(10,93² + 2·9,81·30) = 26,61 m/s

Швидкість у момент удару

v = √(13,02² + 26,61²) = 29,62 m/s

Відповідь

v = 29,62 m/s

Перевірка через енергію: v² = v₀² + 2gh.

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 30,45 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·135) = 30,45 m/s

Відповідь

v_max = 30,45 m/s (109,6 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: h_min = 20 m

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Умова у верхній точці

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон збереження енергії

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·8 = 20 m

Відповідь

h_min = 20 m

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 8,937 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·11·(0,5 − 0,15·0,866)) = 8,937 m/s

Відповідь

v = 8,937 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 119,3 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 98,1·(4,5 − 0,25·3,5) = 355,6 J

Найбільше стиснення

½kx² = 355,6 → x = √(2·355,6/500) = 1,193 m = 119,3 cm

Відповідь

x = 119,3 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 6632 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·6/1900 = 4,421 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1400·6² = 25200 J

K_after = ½·1900·4,421² = 18568 J

Втрачена енергія

ΔK = 25200 − 18568 = 6632 J

Відповідь

ΔK = 6632 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 9 N·s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,25·(15 + 21) = 9 N·s

Відповідь

J = 9 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 8,821 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,7/1,77² = 8,821 m/s²

Відповідь

g = 8,821 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 2,88 J

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(400/2) = 14,14 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·400·0,12² = 2,88 J

Відповідь

E = 2,88 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β₂ = 56,02 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Відношення інтенсивностей

I₂/I₁ = (2/10)² = 0,04

Новий рівень

β₂ = 70 + 10·log₁₀(0,04) = 56,02 dB

Відповідь

β₂ = 56,02 dB

Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m_max = 9

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/200 mm = 5 µm

Найвищий порядок

m ≤ d/λ = 5 µm/0,532 µm = 9,398 → m_max = 9

Відповідь

m_max = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics