Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 80 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 0,6 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 7 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 80 km/ht_r = 0,6 sa = −7 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 40 m/s² протягом 1 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 40 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 6 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 6 kgθ = 35°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 8 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 4,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 8 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 25° над горизонталлю, і він падає на відстані 40 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 25°R = 40 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з вершини скелі висотою 25 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 25 m/sθ = 55°h = 25 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 135 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,6. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 135 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 1,1 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 1,1 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 0,5 kg ковзає 3 m похилою площиною під кутом 35° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,1. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 0,5 kgθ = 35°μ = 0,1d = 3 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,3). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 5 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 3 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0,3d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 14 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 13 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 2 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 51 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 12 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 14 kgu = 13 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 51 m/sm₂ = 12 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1200 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1600 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 10,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1200 kgm₂ = 1600 kgd = 10,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 3,6 kg на пружині з k = 480 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 17 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 13 cm від положення рівноваги.

m = 3,6 kgk = 480 N/mA = 17 cmx = 13 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,4 kg на пружині з k = 300 N/m відтягують на 2 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 1,4 kgk = 300 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Джерело частотою 600 Гц рухається зі швидкістю 20 м/с до нерухомого спостерігача. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 600 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 550 нм падає на дві щілини на відстані 0,4 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 1 м. Знайдіть відстань y₂ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 2.

λ = 550 nmd = 0,4 mmL = 1 mm = 2

y₂ = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 48,61 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 22,22·0,6 = 13,33 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·7) = 35,27 m

Разом

d = 13,33 + 35,27 = 48,61 m

Відповідь

d = 48,61 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 101,5 m

Активна ділянка

v₁ = 40·1 = 40 m/s

h₁ = ½·40·1² = 20 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 40²/(2·9,81) = 81,55 m

h_max = 20 + 81,55 = 101,5 m

Відповідь

h_max = 101,5 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,421 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 35° − 0,15·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,1229) = 4,421 m/s²

Відповідь

a = 4,421 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,904 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 7,848)/12,5 = 2,904 m/s²

Відповідь

a = 2,904 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 22,63 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·40/sin 50°) = 22,63 m/s

Відповідь

v₀ = 22,63 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 74,03 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 55° = 14,34 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 55° = 20,48 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 25 + 20,48·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20,48 + √(419,4 + 490,5))/9,81 = 5,162 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 14,34·5,162 = 74,03 m

Відповідь

x = 74,03 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 28,19 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·135) = 28,19 m/s

Відповідь

v_max = 28,19 m/s (101,5 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 3,285 m/s

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·1,1) = 3,285 m/s

Відповідь

v_min = 3,285 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 1,205 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 4,905·0,8192 = 4,018 N

F = μN = 0,1·4,018 = 0,4018 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 0,4018·3 = 1,205 J

Відповідь

W_f = 1,205 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,539 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 49,05·3 = 147,2 J

μ·m₁g·d = 0,3·49,05·3 = 44,14 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 103 → v = √(2·103/10) = 4,539 m/s

Відповідь

v = 4,539 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 6,667 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 14·13 = 182 kg·m/s

Імпульс після удару

182 = 2·51 + 12·v′₂

v′₂ = (182 − 102)/12 = 6,667 m/s

Відповідь

v′₂ = 6,667 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 29,95 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·10,5) = 12,84 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·12,84/1200 = 29,95 m/s

Відповідь

v₁ = 29,95 m/s

(107,8 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 1,265 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(480/3,6) = 11,55 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 11,55·√(0,17² − 0,13²) = 1,265 m/s

Відповідь

v = 1,265 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,2928 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(300/1,4) = 14,64 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,02·14,64 = 0,2928 m/s

Відповідь

v_max = 0,2928 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 637,2 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 600·(343 + 0)/(343 − 20)

f′ = 637,2 Hz

Відповідь

f′ = 637,2 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₂ = 2,75 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·1/(0,4 × 10⁻³) = 1,375 mm

Смуга номер 2

y₂ = 2·1,375 = 2,75 mm

Відповідь

y₂ = 2,75 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics