Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 29 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 4 m/s². На якій відстані від точки старту поліцейський автомобіль наздожене порушника? Знайдіть d.

v_car = 29 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 4,2 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 4,2 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 20 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 20 kgθ = 30°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 25° зі швидкістю 8 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 8 m/sθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 70° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 28 m/sθ = 70°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 30 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 16 m/sθ = 15°h = 30 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль масою 1200 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 5 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 40 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 1200 kgv = 5 m/sr = 40 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,8 kg на легкій нитці завдовжки 0,5 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 7 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,8 kgr = 0,5 mv_bottom = 7 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 2,5 kg ковзає 16 m похилою площиною під кутом 35° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,25. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 2,5 kgθ = 35°μ = 0,25d = 16 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 2500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 0,5 kgh = 2 mL = 4 mμ = 0,3k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1900 kg, що рухається зі швидкістю 22 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 700 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?

m₁ = 1900 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 2000 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1400 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 9,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 2000 kgm₂ = 1400 kgd = 9,5 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 2 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 3,4 kg на пружині з k = 260 N/m відтягують на 15 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 3,4 kgk = 260 N/mA = 15 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Світло поширюється в середовищі «алмаз» (n = 2,42) до плоскої межі із середовищем «акрил» (n = 1,49). Знайдіть критичний кут θ_c, за яким воно повністю відбивається.

n₁ = 2,42n₂ = 1,49

θ_c = °

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 589 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,12 мм. Знайдіть кут θ₂ темної смуги номер 2 відносно напрямку прямого проходження.

λ = 589 nma = 0,12 mmm = 2

θ₂ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 420,5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·29/4 = 14,5 s

Шлях

d = v·t = 29·14,5 = 420,5 m

Відповідь

d = 420,5 m

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 58 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: d = 77,47 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(4,2 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1441 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1441))/(2·4,905) = 3,974 s

Глибина

d = ½·9,81·3,974² = 77,47 m

Відповідь

d = 77,47 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,781 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,25·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2165) = 2,781 m/s²

Відповідь

a = 2,781 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 5,84 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 25° + 0,15·cos 25°) = 5,48 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·5,48) = 5,84 m

Відповідь

d = 5,84 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 51,37 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 70° = 9,577 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 70° = 26,31 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·26,31/9,81 = 5,364 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 9,577·5,364 = 51,37 m

Відповідь

x = 51,37 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 45,3 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 15° = 15,45 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 15° = 4,141 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 30 + 4,141·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4,141 + √(17,15 + 588,6))/9,81 = 2,931 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 15,45·2,931 = 45,3 m

Відповідь

x = 45,3 m

7.Рух по колу

Відповідь: N = 11022 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r

N = 1200·9,81 − 1200·5²/40 = 11772 − 750 = 11022 N

Відповідь

N = 11022 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 88,11 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 7² − 4·9,81·0,5 = 29,38 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,8·29,38/0,5 − 1,8·9,81 = 88,11 N

Відповідь

T_top = 88,11 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 80,36 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 24,53·0,8192 = 20,09 N

F = μN = 0,25·20,09 = 5,022 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 5,022·16 = 80,36 J

Відповідь

W_f = 80,36 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 5,603 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 4,905·(2 − 0,3·4) = 3,924 J

Найбільше стиснення

½kx² = 3,924 → x = √(2·3,924/2500) = 0,05603 m = 5,603 cm

Відповідь

x = 5,603 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK/K = 26,92 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·22/2600 = 16,08 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1900·22² = 459800 J

K_after = ½·2600·16,08² = 336008 J

Втрачена частка

ΔK/K = 123792/459800 = 26,92 %

Відповідь

ΔK/K = 26,92 %

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 20,76 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·9,5) = 12,21 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3400·12,21/2000 = 20,76 m/s

Відповідь

v₁ = 20,76 m/s

(74,73 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 2,837 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(2/9,81) = 2,837 s

Відповідь

T = 2,837 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 1,312 m/s

Кутова частота

ω = √(260/3,4) = 8,745 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,15·8,745 = 1,312 m/s

Відповідь

v_max = 1,312 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_c = 38 °

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Заломлення на 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,49/2,42 = 0,6157

Критичний кут

θc = arcsin(0,6157) = 38°

Відповідь

θ_c = 38°

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₂ = 0,5625 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Умова темної смуги

sin θ = mλ/a = 0,009817

θ = 0,5625°

Відповідь

θ₂ = 0,5625°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics