Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 108 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 0,8 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 7 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 108 km/ht_r = 0,8 sa = −7 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 3,4 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 3,4 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 12 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 40° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 12 kgθ = 40°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 125 N тягне передній брусок масою 8 kg; брусок масою 9 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.

m₁ = 9 kgm₂ = 8 kgF = 125 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 40° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 38 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з вершини скелі висотою 55 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 25 m/sθ = 20°h = 55 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 125 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 125 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 2 kg на нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 7,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 2 kgr = 1,5 mv = 7,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 0,2 kg висить на легкій нитці завдовжки 2 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 40° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 0,2 kgL = 2 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 3 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,25). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 4 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 2 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgμ = 0,25d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в дерев’яний брусок масою 4 kg, підвішений на легких нитках, і застрягає в ньому. Брусок відхиляється й піднімається на 3 cm вище за початкове положення. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 4 kgh = 3 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 20 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 3 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,1 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 15° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 20 gM = 3 kgL = 1,1 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 2,9 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 2,9 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,2 kg на пружині з k = 20 N/m відтягують на 11 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 0,2 kgk = 20 N/mA = 11 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет заввишки 2 см стоїть на відстані 8 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 20 см. Знайдіть висоту зображення h_i (від’ємну для перевернутого зображення).

h_o = 2 cmd_o = 8 cmf = 20 cm

h_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Ґратка з 500 лініями на міліметр показує максимум порядку 3 спектральної лінії під кутом 42,5° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 500 mm⁻¹θ₃ = 42,5°m = 3

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 88,29 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 30·0,8 = 24 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·7) = 64,29 m

Разом

d = 24 + 64,29 = 88,29 m

Відповідь

d = 88,29 m

2.Кінематика

Відповідь: d = 51,78 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(3,4 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1166 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1166))/(2·4,905) = 3,249 s

Глибина

d = ½·9,81·3,249² = 51,78 m

Відповідь

d = 51,78 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 5,554 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 40° − 0,1·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,0766) = 5,554 m/s²

Відповідь

a = 5,554 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 66,18 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (125 − 16,68)/17 = 6,372 m/s²

Лише задній брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 9·(6,372 + 0,981) = 66,18 N

Відповідь

T = 66,18 N

За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 145 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 40° = 29,11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 40° = 24,43 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·24,43/9,81 = 4,98 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 29,11·4,98 = 145 m

Відповідь

x = 145 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 101,8 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 20° = 23,49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 20° = 8,551 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 55 + 8,551·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,551 + √(73,11 + 1079))/9,81 = 4,332 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 23,49·4,332 = 101,8 m

Відповідь

x = 101,8 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 22,15 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·125) = 22,15 m/s

Відповідь

v_max = 22,15 m/s (79,73 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 94,62 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9,81 + 2·7,5²/1,5 = 19,62 + 75 = 94,62 N

Відповідь

T = 94,62 N

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 2,88 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·2·(1 − cos 40°) = 9,18 m²/s²

Сили внизу

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

T = mg + mv²/L = 1,962 + 0,2·9,18/2 = 2,88 N

Відповідь

T = 2,88 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 2,88 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,268 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 39,24·2 = 78,48 J

μ·m₁g·d = 0,25·29,43·2 = 14,71 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 63,77 → v = √(2·63,77/7) = 4,268 m/s

Відповідь

v = 4,268 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 205,4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Відхилення після удару

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,03) = 0,7672 m/s

Зіткнення

m·v = (m + M)·V → v = (0,015 + 4)·0,7672/0,015 = 205,4 m/s

Відповідь

v = 205,4 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 129,5 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,1·(1 − cos 15°) = 0,03748 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,03748) = 0,8575 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 3,02·0,8575/0,02 = 129,5 m/s

Відповідь

v = 129,5 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 3,416 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(2,9/9,81) = 3,416 s

Відповідь

T = 3,416 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 1,1 m/s

Кутова частота

ω = √(20/0,2) = 10 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,11·10 = 1,1 m/s

Відповідь

v_max = 1,1 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: h_i = 3,333 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/8

d_i = −13,33 cm

Збільшення і висота

m = −(−13,33)/8 = 1,667

h_i = 1,667·2 = 3,333 cm

Відповідь

h_i = 3,333 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 450,4 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 2 × 10⁻⁶·sin 42,5°/3 = 450,4 nm

Відповідь

λ = 450,4 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics