Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 100 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 8 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 100 km/ha = −8 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 7 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 7 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 19 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 19 kgθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 4 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 4 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 26 m/s, і він має впасти на відстані 35 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 26 m/sR = 35 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 32 m/s під кутом 50° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 7 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 32 m/sθ = 50°h_roof = 7 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 115 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,6. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 115 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,3 kg на нитці завдовжки 1,2 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,3 kgr = 1,2 mv = 5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 2000 kg піднімається схилом 6° зі сталою швидкістю 36 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 250 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 2000 kgθ = 6°F_r = 250 Nv = 36 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg починає рух зі стану спокою біля підніжжя схилу 25° і його тягнуть угору сталою силою 35 N, паралельною схилу. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Знайдіть швидкість v бруска після того, як він пройшов 4 m угору схилом.

m = 5 kgF = 35 Nθ = 25°μ = 0,1d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1900 kg, що рухається зі швидкістю 7 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1600 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?

m₁ = 1900 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 1600 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 12 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 4 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 0,8 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 40° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 12 gM = 4 kgL = 0,8 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,4 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,4 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,4 kg прикріплюють до нижнього кінця нерозтягнутої вертикальної пружини з k = 340 N/m і відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max вантажу.

m = 1,4 kgk = 340 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет заввишки 1 см стоїть на відстані 15 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 8 см. Знайдіть висоту зображення h_i (від’ємну для перевернутого зображення).

h_o = 1 cmd_o = 15 cmf = 8 cm

h_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 450 нм падає під прямим кутом на ґратку з 200 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₃ максимуму порядку 3.

N = 200 mm⁻¹λ = 450 nmm = 3

θ₃ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 48,23 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·8) = 48,23 m

Відповідь

s = 48,23 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 2,855 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−20 = 7·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 7·t − 20 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (7 + √(7² + 2·9,81·20))/9,81 = 2,855 s

Відповідь

t = 2,855 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,972 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 20° − 0,15·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,141) = 1,972 m/s²

Відповідь

a = 1,972 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 33,27 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 22,07)/11,5 = 1,493 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7,5·1,493 + 22,07 = 33,27 N

Відповідь

T = 33,27 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 15,26 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·35/26² = 0,5079

Кут

2θ = 30,52° → θ = 15,26°

Відповідь

θ = 15,26°

Інший розв’язок 90° − θ = 74,74°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 96,54 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 20,57 m/s, v_y = 24,51 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

7 = 24,51·t − 4,905·t²

t = (24,51 + √(24,51² − 2·9,81·7))/9,81 = 4,694 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 20,57·4,694 = 96,54 m

Відповідь

x = 96,54 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 26,02 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·115) = 26,02 m/s

Відповідь

v_max = 26,02 m/s (93,66 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 9,193 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,3·9,81 + 0,3·5²/1,2 = 2,943 + 6,25 = 9,193 N

Відповідь

T = 9,193 N

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 23,01 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 2000·9,81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 6° = 2051 N

F = 2051 + 250 = 2301 N

Потужність

v = 36/3,6 = 10 m/s

P = F·v = 2301·10 = 23008 W = 23,01 kW

Відповідь

P = 23,01 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 3,965 m/s

Сили вздовж площини

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 20,73 N

μ·mg·cos θ = 4,445 N

Теорема про роботу й енергію

½mv² = (35 − 25,17)·4 = 39,3 J

v = √(2·39,3/5) = 3,965 m/s

Відповідь

v = 3,965 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK/K = 45,71 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·7/3500 = 3,8 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1900·7² = 46550 J

K_after = ½·3500·3,8² = 25270 J

Втрачена частка

ΔK/K = 21280/46550 = 45,71 %

Відповідь

ΔK/K = 45,71 %

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 640,7 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,8·(1 − cos 40°) = 0,1872 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,1872) = 1,916 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 4,012·1,916/0,012 = 640,7 m/s

Відповідь

v = 640,7 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,487 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,4/2π)² = 0,487 m

Відповідь

L = 0,487 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 0,6295 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Положення рівноваги й амплітуда

x₀ = m·g/k = 1,4·9,81/340 = 0,04039 m = A

Найбільша швидкість

Швидкість найбільша в положенні рівноваги.

ω = √(340/1,4) = 15,58 rad/s

v_max = A·ω = 0,04039·15,58 = 0,6295 m/s

Відповідь

v_max = 0,6295 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: h_i = −1,143 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/15

d_i = 17,14 cm

Збільшення і висота

m = −17,14/15 = −1,143

h_i = −1,143·1 = −1,143 cm

Відповідь

h_i = −1,143 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₃ = 15,66 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 3·450 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0,27

θ = 15,66°

Відповідь

θ₃ = 15,66°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics