Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 54 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7,5 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 54 km/ha = −7,5 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 14 m/s з краю даху на висоті 10 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 14 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 35 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 30° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 35 kgθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 135 N тягне передній брусок масою 1 kg; брусок масою 11 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.

m₁ = 11 kgm₂ = 1 kgF = 135 Nμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 10 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 10 m/s під кутом 45° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 10 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v, з якою він ударяється об землю.

v₀ = 10 m/sθ = 45°h = 10 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 2 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 30° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кульки.

L = 2 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,3 kg на нитці завдовжки 1,3 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 6,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,3 kgr = 1,3 mv = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 100 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,7. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 100 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 16 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 4 m. Знайдіть силу нормальної реакції N, з якою траса діє на візок у верхній точці петлі.

m = 5 kgh = 16 mR = 4 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 1,5 kg, що рухається зі швидкістю 10 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 1 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,4 kg ударяється об стіну зі швидкістю 29 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 10 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,4 kgv_in = 29 m/sv_out = 10 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,2 kg на пружині з k = 420 N/m відтягують на 18 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 1,2 kgk = 420 N/mA = 18 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 1,5 м, хвилі поширюються зі швидкістю 180 м/с. Знайдіть частоту f₁ для моди «основна частота (перша гармоніка)».

v = 180 m/sn = 1L = 1,5 m

f₁ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Датчик у стані спокою посилає ультразвук 25 кГц до автомобіля, що наближається зі швидкістю 5 м/с, і змішує відлуння з випроміненим сигналом. Знайдіть частоту биття f_b (швидкість звуку 343 м/с).

f = 25 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 2 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/7,5 = 2 s

Відповідь

t = 2 s

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,446 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−10 = 14·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 14·t − 10 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (14 + √(14² + 2·9,81·10))/9,81 = 3,446 s

Відповідь

t = 3,446 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 260,9 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 171,7 + 89,2 = 260,9 N

Відповідь

F = 260,9 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 123,8 N

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (135 − 11,77)/12 = 10,27 m/s²

Лише задній брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 11·(10,27 + 0,981) = 123,8 N

Відповідь

T = 123,8 N

За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 0,8616 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 25° = 9,063 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 25° = 4,226 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·4,226/9,81 = 0,8616 s

Відповідь

t = 0,8616 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v = 17,21 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 10·cos 45° = 7,071 m/s

v_y0 = 10·sin 45° = 7,071 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(7,071² + 2·9,81·10) = 15,69 m/s

Швидкість у момент удару

v = √(7,071² + 15,69²) = 17,21 m/s

Відповідь

v = 17,21 m/s

Перевірка через енергію: v² = v₀² + 2gh.

7.Рух по колу

Відповідь: v = 2,38 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 2·sin 30° = 1 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(1·9,81·tan 30°) = 2,38 m/s

Відповідь

v = 2,38 m/s

8.Рух по колу

Відповідь: T = 12,69 N

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,3·9,81 + 0,3·6,5²/1,3 = 2,943 + 9,75 = 12,69 N

Відповідь

T = 12,69 N

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 56,18 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 100/3,6 = 27,78 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27,78²/(2·0,7·9,81) = 56,18 m

Відповідь

d = 56,18 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: N = 147,2 N

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(16 − 8) = 157 m²/s²

Сили у верхній точці

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

N = mv²/R − mg = 5·157/4 − 49,05 = 147,2 N

Відповідь

N = 147,2 N

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 12 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (1,5 − 1)/(1,5 + 1)·10 = 2 m/s

v′₂ = 2·1,5/(1,5 + 1)·10 = 12 m/s

Відповідь

v′₂ = 12 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 624 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,4·(10 + 29) = 15,6 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 15,6/0,025 = 624 N

Відповідь

F_avg = 624 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,2485 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1/2π)² = 0,2485 m

Відповідь

L = 0,2485 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 6,804 J

Кутова частота

ω = √(420/1,2) = 18,71 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·420·0,18² = 6,804 J

Відповідь

E = 6,804 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₁ = 60 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·1,5/1 = 3 m

Частота

f = v/λ = 180/3 = 60 Hz

Відповідь

f₁ = 60 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f_b = 739,6 Hz

Частота біля автомобіля

f′ = 25000·(343 + 5)/343 = 25364 Hz

Частота відлуння

f″ = f′·343/(343 − 5) = 25740 Hz

Частота биття

f_b = |f″ − f| = 739,6 Hz

Відповідь

f_b = 739,6 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics