Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 120 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 0,8 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 120 km/ht_r = 0,8 sa = −4 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 14 m/s з краю даху на висоті 25 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 14 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 40 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 30° над горизонталлю із силою 130 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 40 kgF = 130 Nθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Два бруски на рівній підлозі з’єднані легкою горизонтальною ниткою. Горизонтальна сила 65 N тягне передній брусок масою 8 kg; брусок масою 4 kg тягнеться позаду. Коефіцієнт тертя ковзання для обох брусків 0,15. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T з’єднувальної нитки.

m₁ = 4 kgm₂ = 8 kgF = 65 Nμ = 0,15g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 12 m/s під кутом 70° над горизонталлю в бік стіни на відстані 6 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 12 m/sθ = 70°x = 6 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 15° до горизонту з вершини скелі висотою 55 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 15 m/sθ = 15°h = 55 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 2,1 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу кутову швидкість ω у rad/s.

r = 2,1 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 70 m має нахил полотна 15°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,15. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 70 mθ = 15°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 0,5 kg ковзає 12 m похилою площиною під кутом 25° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,3. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 0,5 kgθ = 25°μ = 0,3d = 12 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 4 kgh = 2 mL = 3,5 mμ = 0,1k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1500 kg, що рухається зі швидкістю 8 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1900 kg, і вони зчіплюються. Скільки кінетичної енергії ΔK втрачається під час зіткнення?

m₁ = 1500 kgv₁ = 8 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 5 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 4 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,9 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 15° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 5 gM = 4 kgL = 1,9 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,3 kg на пружині з k = 210 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 18 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 10 cm від положення рівноваги.

m = 1,3 kgk = 210 N/mA = 18 cmx = 10 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,2 kg на пружині з k = 80 N/m відтягують на 15 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільшу швидкість v_max.

m = 0,2 kgk = 80 N/mA = 15 cm

v_max = m/s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Спостерігач рухається зі швидкістю 15 м/с від нерухомого джерела частотою 800 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 800 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 550 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,08 мм. Знайдіть ширину w центрального світлого максимуму на екрані на відстані 1 м (між першими темними смугами з обох боків).

λ = 550 nma = 0,08 mmL = 1 m

w = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 165,6 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 120/3,6 = 33,33 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 33,33·0,8 = 26,67 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 33,33²/(2·4) = 138,9 m

Разом

d = 26,67 + 138,9 = 165,6 m

Відповідь

d = 165,6 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 4,098 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−25 = 14·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 14·t − 25 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (14 + √(14² + 2·9,81·25))/9,81 = 4,098 s

Відповідь

t = 4,098 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 0,3591 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 392,4 − 130·sin 30° = 327,4 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 112,6 − 98,22

a = 14,36/40 = 0,3591 m/s²

Відповідь

a = 0,3591 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 21,67 N

Уся система

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (65 − 17,66)/12 = 3,945 m/s²

Лише задній брусок

T = m₁·(a + μ·g) = 4·(3,945 + 1,472) = 21,67 N

Відповідь

T = 21,67 N

За однакового μ для обох брусків тертя випадає: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 6,002 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 12·cos 70° = 4,104 m/s

t = x/v_x = 6/4,104 = 1,462 s

Висота в цей момент

y = 11,28·1,462 − ½·9,81·1,462² = 6,002 m

Відповідь

y = 6,002 m

Біля стіни м’яч уже падає.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 54,59 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 15° = 14,49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 15° = 3,882 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 55 + 3,882·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (3,882 + √(15,07 + 1079))/9,81 = 3,768 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 14,49·3,768 = 54,59 m

Відповідь

x = 54,59 m

7.Рух по колу

Відповідь: ω = 2,416 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,8·2,1)) = 2,416 rad/s

Відповідь

ω = 2,416 rad/s

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 17,29 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(70·9,81·0,4037/0,9271) = 17,29 m/s

Відповідь

v_max = 17,29 m/s

(62,25 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 16 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 4,905·0,9063 = 4,445 N

F = μN = 0,3·4,445 = 1,334 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 1,334·12 = 16 J

Відповідь

W_f = 16 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,69 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 39,24·(2 − 0,1·3,5) = 64,75 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,65) = 5,69 m/s

Відповідь

v = 5,69 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK = 26824 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·8/3400 = 3,529 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1500·8² = 48000 J

K_after = ½·3400·3,529² = 21176 J

Втрачена енергія

ΔK = 48000 − 21176 = 26824 J

Відповідь

ΔK = 26824 J

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 902,8 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,9·(1 − cos 15°) = 0,06474 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,06474) = 1,127 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 4,005·1,127/0,005 = 902,8 m/s

Відповідь

v = 902,8 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 1,902 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(210/1,3) = 12,71 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 12,71·√(0,18² − 0,1²) = 1,902 m/s

Відповідь

v = 1,902 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: v_max = 3 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(80/0,2) = 20 rad/s

Найбільша швидкість

v_max = A·ω = 0,15·20 = 3 m/s

Відповідь

v_max = 3 m/s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 765 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 800·(343 − 15)/(343 + 0)

f′ = 765 Hz

Відповідь

f′ = 765 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: w = 13,75 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Перша темна смуга

y₁ = λL/a = 550 × 10⁻⁹·1/(0,08 × 10⁻³) = 6,875 mm

Ширина центрального максимуму

w = 2y₁ = 13,75 mm

Відповідь

w = 13,75 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics