Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 100 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 100 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 13 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max над землею.

v₀ = 13 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 40 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 30° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 40 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 8,5 kg на похилій площині з кутом 30° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 9 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Тертя на похилій площині відсутнє. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 8,5 kgm₂ = 9 kgθ = 30°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 45° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 36 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 25 m/s під кутом 45° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 6 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 25 m/sθ = 45°h_roof = 6 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 1,2 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 25° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 1,2 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Поворот радіусом 120 m має нахил полотна 30°, а коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот, не зісковзнувши вгору й назовні.

r = 120 mθ = 30°μ_s = 0,1g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 800 N/m. На неї кладуть кульку 0,05 kg, стискають пружину на 10 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,05 kgk = 800 N/mx = 10 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 1500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 10 kgh = 3 mL = 3,5 mμ = 0,25k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3 kg, що рухається зі швидкістю 7 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 0,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 3 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 900 kg, що їде на схід зі швидкістю 13 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1200 kg, що їде на північ зі швидкістю 17 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть швидкість v′ уламків одразу після зіткнення.

m₁ = 900 kgv₁ = 13 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 17 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 2,1 kg на пружині з k = 430 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 7 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 5 cm від положення рівноваги.

m = 2,1 kgk = 430 N/mA = 7 cmx = 5 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 3,3 kg на пружині з k = 70 N/m відтягують на 17 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 3,3 kgk = 70 N/mA = 17 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, закрита з одного кінця: довжина 1 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₁ для моди «основна частота (перша гармоніка)».

v = 343 m/sn = 1L = 1 m

f₁ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Ґратка з 500 лініями на міліметр показує максимум порядку 2 спектральної лінії під кутом 41° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 500 mm⁻¹θ₂ = 41°m = 2

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 77,16 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·5) = 77,16 m

Відповідь

s = 77,16 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 28,61 m

Підйом над дахом

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 13²/(2·9,81) = 8,614 m

Висота над землею

h_max = 20 + 8,614 = 28,61 m

Відповідь

h_max = 28,61 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 264,2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 196,2 + 67,97 = 264,2 N

Відповідь

F = 264,2 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,663 m/s²

Сили вздовж нитки

m₂·g = 88,29 N

m₁·g·sin θ = 41,69 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

Прискорення системи

a = (88,29 − 41,69 − 0)/17,5 = 2,663 m/s²

Відповідь

a = 2,663 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 33,03 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 45° = 25,46 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 45° = 25,46 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 25,46²/(2·9,81) = 33,03 m

Відповідь

H = 33,03 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 57 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 17,68 m/s, v_y = 17,68 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

6 = 17,68·t − 4,905·t²

t = (17,68 + √(17,68² − 2·9,81·6))/9,81 = 3,225 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 17,68·3,225 = 57 m

Відповідь

x = 57 m

7.Рух по колу

Відповідь: T = 2,092 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 1,2·sin 25° = 0,5071 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,5071·9,81·tan 25°) = 1,523 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·0,5071/1,523 = 2,092 s

Відповідь

T = 2,092 s

8.Рух по колу

Відповідь: v_max = 29,09 m/s

Рівняння рівноваги сил

Тертя спрямоване вниз схилом.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Швидкість

v = √(120·9,81·0,5866/0,816) = 29,09 m/s

Відповідь

v_max = 29,09 m/s

(104,7 km/h)

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 8,155 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 10 cm = 0,1 m

½kx² = ½·800·0,1² = 4 J

Висота

m·g = 0,05·9,81 = 0,4905 N

h = ½kx²/(mg) = 4/0,4905 = 8,155 m

Відповідь

h = 8,155 m

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 52,72 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 98,1·(3 − 0,25·3,5) = 208,5 J

Найбільше стиснення

½kx² = 208,5 → x = √(2·208,5/1500) = 0,5272 m = 52,72 cm

Відповідь

x = 52,72 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 5 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3 − 0,5)/(3 + 0,5)·7 = 5 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 0,5)·7 = 12 m/s

Відповідь

v′₁ = 5 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′ = 11,2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Складові імпульсу

p_x = 900·13 = 11700 kg·m/s

p_y = 1200·17 = 20400 kg·m/s

Швидкість уламків

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 23517/2100 = 11,2 m/s

Відповідь

v′ = 11,2 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,701 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(430/2,1) = 14,31 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 14,31·√(0,07² − 0,05²) = 0,701 m/s

Відповідь

v = 0,701 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 3,606 m/s²

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(70/3,3) = 4,606 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,17·4,606² = 3,606 m/s²

Відповідь

a_max = 3,606 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₁ = 85,75 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 4L/n = 4·1/1 = 4 m

Частота

f = v/λ = 343/4 = 85,75 Hz

Відповідь

f₁ = 85,75 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 656,1 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 2 × 10⁻⁶·sin 41°/2 = 656,1 nm

Відповідь

λ = 656,1 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics