Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 108 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 108 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 3,2 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 3,2 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Вантажі масами 10 kg і 1,5 kg висять по обидва боки легкого блока без тертя, з’єднані легкою ниткою. Систему відпускають без початкової швидкості. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a вантажів.

m₁ = 10 kgm₂ = 1,5 kgg = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 30° зі швидкістю 12 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 12 m/sθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 38 m/s під кутом 25° над горизонталлю в бік стіни на відстані 68 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 38 m/sθ = 25°x = 68 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з вершини скелі висотою 10 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 21 m/sθ = 25°h = 10 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 105 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 105 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 41 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 10 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_top траси на візок у верхній точці петлі.

m = 1 kgh = 41 mR = 10 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 1 kg висить на легкій нитці завдовжки 0,5 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 20° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 1 kgL = 0,5 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 1500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 2,5 kgh = 4,5 mL = 3 mμ = 0,15k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 1 kg, що рухається зі швидкістю 5 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 1 kgm₂ = 4 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 20 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 2 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 10° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 20 gM = 1 kgL = 2 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 0,2 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 0,2 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,8 kg на пружині з k = 30 N/m відтягують на 16 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 2,8 kgk = 30 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет заввишки 5 см стоїть на відстані 40 см перед тонкою лінзою (розсіювальна) з фокусною відстанню 30 см. Знайдіть висоту зображення h_i (від’ємну для перевернутого зображення).

h_o = 5 cmd_o = 40 cmf = −30 cm

h_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 20 см перед увігнуте дзеркалом із радіусом кривини 16 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

d_o = 20 cmR = 16 cm

m =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 112,5 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·4) = 112,5 m

Відповідь

s = 112,5 m

2.Кінематика

Відповідь: d = 46,1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(3,2 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1098 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1098))/(2·4,905) = 3,066 s

Глибина

d = ½·9,81·3,066² = 46,1 m

Відповідь

d = 46,1 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 7,251 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Прискорення

Рушійна рівнодійна сила — це різниця ваг; вона рухає загальну масу.

a = (10 − 1,5)·9,81/(10 + 1,5) = 7,251 m/s²

Відповідь

a = 7,251 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 10,9 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 30° + 0,2·cos 30°) = 6,604 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·6,604) = 10,9 m

Відповідь

d = 10,9 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 12,59 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 38·cos 25° = 34,44 m/s

t = x/v_x = 68/34,44 = 1,974 s

Висота в цей момент

y = 16,06·1,974 − ½·9,81·1,974² = 12,59 m

Відповідь

y = 12,59 m

Біля стіни м’яч уже падає.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 49,39 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 25° = 19,03 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 25° = 8,875 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 10 + 8,875·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8,875 + √(78,77 + 196,2))/9,81 = 2,595 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 19,03·2,595 = 49,39 m

Відповідь

x = 49,39 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 20,3 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·105) = 20,3 m/s

Відповідь

v_max = 20,3 m/s (73,07 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: N_top = 31,39 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·(41 − 2·10) = 412 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R − m·g = 1·412/10 − 9,81 = 31,39 N

Відповідь

N_top = 31,39 N

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 10,99 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·0,5·(1 − cos 20°) = 0,5916 m²/s²

Сили внизу

m·g = 1·9,81 = 9,81 N

T = mg + mv²/L = 9,81 + 1·0,5916/0,5 = 10,99 N

Відповідь

T = 10,99 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 10,99 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 8,914 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(4,5 − 0,15·3) = 99,33 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4,05) = 8,914 m/s

Відповідь

v = 8,914 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = −3 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (1 − 4)/(1 + 4)·5 = −3 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4)·5 = 2 m/s

Відповідь

v′₁ = −3 m/s

Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 39,38 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 2·(1 − cos 10°) = 0,03038 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,03038) = 0,7721 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 1,02·0,7721/0,02 = 39,38 m/s

Відповідь

v = 39,38 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 0,8971 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(0,2/9,81) = 0,8971 s

Відповідь

T = 0,8971 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 1,714 m/s²

Кутова частота

ω = √(30/2,8) = 3,273 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,16·3,273² = 1,714 m/s²

Відповідь

a_max = 1,714 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: h_i = 2,143 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/40

d_i = −17,14 cm

Збільшення і висота

m = −(−17,14)/40 = 0,4286

h_i = 0,4286·5 = 2,143 cm

Відповідь

h_i = 2,143 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = −0,6667

Фокусна відстань

f = R/2 = 8 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/20

d_i = 13,33 cm

Збільшення

m = −13,33/20 = −0,6667

Відповідь

m = −0,6667

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics