Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 280 km/h, а довжина злітної смуги 1300 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1300 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 3 m/s² протягом 5 s, потім їде зі сталою швидкістю 6 s і нарешті гальмує з прискоренням 3 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 5 st₂ = 6 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик масою 25 kg штовхають угору похилою площиною під кутом 40° до горизонталі зі сталою швидкістю силою, паралельною площині. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу F, з якою штовхають ящик.

m = 25 kgθ = 40°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

F = N

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 4 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 40° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 14 m/sθ = 40°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 30° до горизонту з вершини скелі висотою 45 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 21 m/sθ = 30°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 2,9 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу кутову швидкість ω у rad/s.

r = 2,9 mμ_s = 0,8g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,4 kg на нитці завдовжки 1,4 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 9 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 0,4 kgr = 1,4 mv = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 4 kg ковзає 10 m похилою площиною під кутом 15° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,15. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 4 kgθ = 15°μ = 0,15d = 10 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,3). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 4 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 1 m.

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgμ = 0,3d = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3 kg, що рухається зі швидкістю 8 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 3 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 10 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 1 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,4 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 35° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 10 gM = 1 kgL = 1,4 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 2,3 kg на пружині з k = 130 N/m відтягують на 15 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 1,15 s (зі знаком).

m = 2,3 kgk = 130 N/mA = 15 cmt = 1,15 s

x = cm

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 160 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 10 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 8 cm від положення рівноваги.

k = 160 N/mA = 10 cmx = 8 cm

U = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, закрита з одного кінця: гармоніка номер 3 має становити 515 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть довжину L труби.

v = 343 m/sn = 3f₃ = 515 Hz

L = m

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 30 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 8 см і лінза 2 з f₂ = −10 см. Предмет стоїть на відстані 15 см перед лінзою 1. Знайдіть положення d_i2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).

f₁ = 8 cmf₂ = −10 cms = 30 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 2,327 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·1300) = 2,327 m/s²

Відповідь

a = 2,327 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: s = 165 m

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 3·5 = 15 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·3·5² = 37,5 m

s₂ = 15·6 = 90 m

s₃ = 15²/(2·3) = 37,5 m

Повна відстань

s = 37,5 + 90 + 37,5 = 165 m

Відповідь

s = 165 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: F = 195,2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж площини

Стала швидкість: сили зрівноважені.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Сила, з якою штовхають

F = 157,6 + 37,57 = 195,2 N

Відповідь

F = 195,2 N

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 6,213 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 1,962)/6 = 6,213 m/s²

Відповідь

a = 6,213 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 1,835 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 40° = 10,72 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 40° = 8,999 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·8,999/9,81 = 1,835 s

Відповідь

t = 1,835 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,283 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 30° = 18,19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 30° = 10,5 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 45 + 10,5·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,5 + √(110,2 + 882,9))/9,81 = 4,283 s

Відповідь

t = 4,283 s

7.Рух по колу

Відповідь: ω = 2,056 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,8·2,9)) = 2,056 rad/s

Відповідь

ω = 2,056 rad/s

8.Рух по колу

Відповідь: T = 27,07 N

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,4·9,81 + 0,4·9²/1,4 = 3,924 + 23,14 = 27,07 N

Відповідь

T = 27,07 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 56,85 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 39,24·0,9659 = 37,9 N

F = μN = 0,15·37,9 = 5,685 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 5,685·10 = 56,85 J

Відповідь

W_f = 56,85 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 2,335 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 39,24·1 = 39,24 J

μ·m₁g·d = 0,3·49,05·1 = 14,71 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 24,53 → v = √(2·24,53/9) = 2,335 m/s

Відповідь

v = 2,335 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = −0,6154 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3 − 3,5)/(3 + 3,5)·8 = −0,6154 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 3,5)·8 = 7,385 m/s

Відповідь

v′₁ = −0,6154 m/s

Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 225,1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,4·(1 − cos 35°) = 0,2532 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,2532) = 2,229 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 1,01·2,229/0,01 = 225,1 m/s

Відповідь

v = 225,1 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: x = −10,67 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(130/2,3) = 7,518 rad/s

ω·t = 7,518·1,15 = 8,646 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 15·cos(8,646) = −10,67 cm

Відповідь

x = −10,67 cm

14.Пружини й маятники

Відповідь: U = 0,512 J

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·160·0,1² = 0,8 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·160·0,08² = 0,512 J

Відповідь

U = 0,512 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: L = 0,4995 m

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 343/515 = 0,666 m

Довжина

L = nλ/4 = 3·0,666/4 = 0,4995 m

Відповідь

L = 0,4995 m

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i2 = −5,625 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Зображення від лінзи 1

1/d_i1 = 1/8 − 1/15 → d_i1 = 17,14 cm

Предмет для лінзи 2

d_o2 = 30 − 17,14 = 12,86 cm

Кінцеве зображення

1/d_i2 = 1/(−10) − 1/12,86 → d_i2 = −5,625 cm

Відповідь

d_i2 = −5,625 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics