Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 90 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 5,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 90 km/ha = −5,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1 m/s² протягом 7 s, потім їде зі сталою швидкістю 9 s і нарешті гальмує з прискоренням 5 m/s² до зупинки. Знайдіть повний час руху t.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 7 st₂ = 9 sa₃ = −5 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 8 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 8 kgθ = 30°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 7,5 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 14 m/s, і він має впасти на відстані 10 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 14 m/sR = 10 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 25° до горизонту з вершини скелі висотою 50 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 18 m/sθ = 25°h = 50 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 125 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 125 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,9 kg на легкій нитці завдовжки 1,5 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 10,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 0,9 kgr = 1,5 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 19 m вздовж площини.

θ = 30°μ = 0,1d = 19 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 2,5 kgh = 3 mL = 3 mμ = 0,25k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Автомобіль масою 1000 kg, що рухається зі швидкістю 19 m/s, налітає на нерухомий автомобіль масою 1900 kg, і вони зчіплюються. Який відсоток ΔK/K початкової кінетичної енергії втрачається?

m₁ = 1000 kgv₁ = 19 m/sm₂ = 1900 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 15 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 3,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,9 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 15° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 15 gM = 3,5 kgL = 1,9 mθ = 15°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 2,9 kg на пружині з k = 210 N/m відтягують на 8 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його швидкість v при t = 1 s (зі знаком).

m = 2,9 kgk = 210 N/mA = 8 cmt = 1 s

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 3,3 kg на пружині з k = 170 N/m відтягують на 12 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 3,3 kgk = 170 N/mA = 12 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 4 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 15 см. Знайдіть відстань до зображення d_i. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для розсіювальної лінзи, d_i < 0 для уявного зображення).

d_o = 4 cmf = 15 cm

d_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 633 нм падає на дві щілини на відстані 0,25 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 2,5 м. Знайдіть відстань Δy між сусідніми світлими смугами.

λ = 633 nmd = 0,25 mmL = 2,5 m

Δy = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 56,82 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·5,5) = 56,82 m

Відповідь

s = 56,82 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 17,4 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1·7 = 7 m/s

Час гальмування

t₃ = v/a₃ = 7/5 = 1,4 s

Загальний час

t = 7 + 9 + 1,4 = 17,4 s

Відповідь

t = 17,4 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,356 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,3·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,2598) = 2,356 m/s²

Відповідь

a = 2,356 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 28,09 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 14,71)/11 = 1,784 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7,5·1,784 + 14,71 = 28,09 N

Відповідь

T = 28,09 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 15,02 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·10/14² = 0,5005

Кут

2θ = 30,03° → θ = 15,02°

Відповідь

θ = 15,02°

Інший розв’язок 90° − θ = 74,98°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,061 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 25° = 16,31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 25° = 7,607 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 50 + 7,607·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (7,607 + √(57,87 + 981))/9,81 = 4,061 s

Відповідь

t = 4,061 s

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 29,3 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·125) = 29,3 m/s

Відповідь

v_max = 29,3 m/s (105,5 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 22 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·1,5 = 51,39 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,9·51,39/1,5 − 0,9·9,81 = 22 N

Відповідь

T_top = 22 N

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 12,41 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·19·(0,5 − 0,1·0,866)) = 12,41 m/s

Відповідь

v = 12,41 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 46,98 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(3 − 0,25·3) = 55,18 J

Найбільше стиснення

½kx² = 55,18 → x = √(2·55,18/500) = 0,4698 m = 46,98 cm

Відповідь

x = 46,98 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: ΔK/K = 65,52 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Спільна швидкість

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1000·19/2900 = 6,552 m/s

Кінетична енергія до й після

K_before = ½·1000·19² = 180500 J

K_after = ½·2900·6,552² = 62241 J

Втрачена частка

ΔK/K = 118259/180500 = 65,52 %

Відповідь

ΔK/K = 65,52 %

Втрачена енергія йде на деформацію, теплоту й звук.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 264,1 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,9·(1 − cos 15°) = 0,06474 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,06474) = 1,127 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 3,515·1,127/0,015 = 264,1 m/s

Відповідь

v = 264,1 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = −0,5396 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(210/2,9) = 8,51 rad/s

ω·t = 8,51·1 = 8,51 rad

Швидкість

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,08·8,51·sin(8,51) = −0,5396 m/s

Відповідь

v = −0,5396 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 1,224 J

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(170/3,3) = 7,177 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·170·0,12² = 1,224 J

Відповідь

E = 1,224 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −5,455 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/4

d_i = −5,455 cm

Хід променів

уявне, з того самого боку, що й предмет

Відповідь

d_i = −5,455 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: Δy = 6,33 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·2,5/(0,25 × 10⁻³) = 6,33 mm

Відповідь

Δy = 6,33 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics