Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 250 km/h, а довжина злітної смуги 1400 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 250 km/hs = 1400 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 3 m/s² протягом 11 s, потім їде зі сталою швидкістю 7 s і нарешті гальмує з прискоренням 2 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 3 m/s²t₁ = 11 st₂ = 7 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 15 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 20° над горизонталлю із силою 70 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 15 kgF = 70 Nθ = 20°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 1,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 6 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 1,5 kgm₂ = 6 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 36 m/s, і він має впасти на відстані 65 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 36 m/sR = 65 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 35° до горизонту з вершини скелі висотою 45 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 35 m/sθ = 35°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Поворот радіусом 70 m має нахил полотна 12°. З якою швидкістю v автомобіль може пройти його взагалі без потреби в терті? Прийміть g = 9,81 m/s².

r = 70 mθ = 12°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 0,8 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 0,8 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 10 kg ковзає 8 m похилою площиною під кутом 45° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,35. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 10 kgθ = 45°μ = 0,35d = 8 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,4). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 3 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 1 m.

m₁ = 2 kgm₂ = 3 kgμ = 0,4d = 1 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 12 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 10 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 9 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 38 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 3 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 12 kgu = 10 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 38 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 1000 kg, що їде на схід зі швидкістю 14 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1200 kg, що їде на північ зі швидкістю 21 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть швидкість v′ уламків одразу після зіткнення.

m₁ = 1000 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 21 m/s (N)

v′ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 0,4 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 0,4 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 80 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 8 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 2 cm від положення рівноваги.

k = 80 N/mA = 8 cmx = 2 cm

U = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 80 дБ на відстані 5 м від нього. Знайдіть рівень β₂ на відстані 10 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.

β₁ = 80 dBr₁ = 5 mr₂ = 10 m

β₂ = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 15 см перед увігнуте дзеркалом із радіусом кривини 60 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

d_o = 15 cmR = 60 cm

m =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 1,722 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 250/3,6 = 69,44 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 69,44²/(2·1400) = 1,722 m/s²

Відповідь

a = 1,722 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: s = 684,8 m

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 3·11 = 33 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·3·11² = 181,5 m

s₂ = 33·7 = 231 m

s₃ = 33²/(2·2) = 272,3 m

Повна відстань

s = 181,5 + 231 + 272,3 = 684,8 m

Відповідь

s = 684,8 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,921 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 147,2 − 70·sin 20° = 123,2 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 65,78 − 36,96

a = 28,82/15 = 1,921 m/s²

Відповідь

a = 1,921 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 7,358 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58,86 − 3,679)/7,5 = 7,358 m/s²

Відповідь

a = 7,358 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 14,74 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·65/36² = 0,492

Кут

2θ = 29,47° → θ = 14,74°

Відповідь

θ = 14,74°

Інший розв’язок 90° − θ = 75,26°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 5,702 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 35° = 28,67 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 35° = 20,08 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 45 + 20,08·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20,08 + √(403 + 882,9))/9,81 = 5,702 s

Відповідь

t = 5,702 s

7.Рух по колу

Відповідь: v = 12,08 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Рівновага сил

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

Швидкість

v = √(r·g·tan θ) = √(70·9,81·tan 12°) = 12,08 m/s

Відповідь

v = 12,08 m/s

(43,49 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 2,801 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,8) = 2,801 m/s

Відповідь

v_min = 2,801 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 194,2 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 98,1·0,7071 = 69,37 N

F = μN = 0,35·69,37 = 24,28 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 24,28·8 = 194,2 J

Відповідь

W_f = 194,2 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 2,938 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 29,43·1 = 29,43 J

μ·m₁g·d = 0,4·19,62·1 = 7,848 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 21,58 → v = √(2·21,58/5) = 2,938 m/s

Відповідь

v = 2,938 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −74 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 12·10 = 120 kg·m/s

Імпульс після удару

120 = 9·38 + 3·v′₂

v′₂ = (120 − 342)/3 = −74 m/s

Відповідь

v′₂ = −74 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′ = 13,1 m/s

Складові імпульсу

p_x = 1000·14 = 14000 kg·m/s

p_y = 1200·21 = 25200 kg·m/s

Швидкість уламків

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 28828/2200 = 13,1 m/s

Відповідь

v′ = 13,1 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 1,269 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(0,4/9,81) = 1,269 s

Відповідь

T = 1,269 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: U = 0,016 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·80·0,08² = 0,256 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·80·0,02² = 0,016 J

Відповідь

U = 0,016 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β₂ = 73,98 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Відношення інтенсивностей

I₂/I₁ = (5/10)² = 0,25

Новий рівень

β₂ = 80 + 10·log₁₀(0,25) = 73,98 dB

Відповідь

β₂ = 73,98 dB

Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = 2

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Фокусна відстань

f = R/2 = 30 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/15

d_i = −30 cm

Збільшення

m = −(−30)/15 = 2

Відповідь

m = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics