Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 36 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,4 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 36 km/ht_r = 1,4 sa = −4 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 9 m/s з краю даху на висоті 10 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 9 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 20 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 35° над горизонталлю із силою 140 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 20 kgF = 140 Nθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 3 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 35° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 28 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 15 m/s під кутом 50° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 45 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 15 m/sθ = 50°h = 45 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 3,1 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,6. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу частоту обертання n в обертах за хвилину.

r = 3,1 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Рух по колуСкладна

Невеликий візок відпускають без початкової швидкості на трасі без тертя, і він в’їжджає у вертикальну петлю радіусом 7 m. З якої мінімальної висоти h_min над нижньою точкою петлі він має стартувати, щоб утриматися на трасі у верхній точці петлі?

R = 7 mv₀ = 0

h_min = m

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 800 N/m. На неї кладуть кульку 0,25 kg, стискають пружину на 8 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,25 kgk = 800 N/mx = 8 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 4 kgh = 5 mL = 3,5 mμ = 0,3k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 4 kg, що рухається зі швидкістю 2 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 4 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,15 kg ударяється об стіну зі швидкістю 16 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 5 m/s. Контакт триває 50 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,15 kgv_in = 16 m/sv_out = 5 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 4 kg на пружині з k = 50 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 14 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 6 cm від положення рівноваги.

m = 4 kgk = 50 N/mA = 14 cmx = 6 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 3,7 kg на пружині з k = 250 N/m відтягують на 14 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 3,7 kgk = 250 N/mA = 14 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Джерело частотою 400 Гц рухається зі швидкістю 10 м/с від нерухомого спостерігача. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 550 нм падає на дві щілини на відстані 0,2 мм одна від одної. Екран розташований на відстані 2,5 м. Знайдіть відстань y₁ від центральної світлої смуги до світлої смуги номер 1.

λ = 550 nmd = 0,2 mmL = 2,5 mm = 1

y₁ = mm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 26,5 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 36/3,6 = 10 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 10·1,4 = 14 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 10²/(2·4) = 12,5 m

Разом

d = 14 + 12,5 = 26,5 m

Відповідь

d = 26,5 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 2,615 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−10 = 9·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 9·t − 10 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (9 + √(9² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,615 s

Відповідь

t = 2,615 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,575 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 140·sin 35° = 115,9 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 114,7 − 23,18

a = 91,5/20 = 4,575 m/s²

Відповідь

a = 4,575 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,635 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 7,357)/4,5 = 1,635 m/s²

Відповідь

a = 1,635 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 13,15 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 35° = 22,94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 35° = 16,06 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 16,06²/(2·9,81) = 13,15 m

Відповідь

H = 13,15 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 73,16 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 15·cos 50° = 9,642 m/s

v_y0 = 15·sin 50° = 11,49 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(11,49² + 2·9,81·45) = 31,86 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 31,86/9,642 → α = 73,16°

Відповідь

α = 73,16°

7.Рух по колу

Відповідь: n = 21,93 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,6·3,1)) = 2,297 rad/s

Частота обертання

n = ω·60/(2π) = 21,93 rpm

Відповідь

n = 21,93 rpm

8.Рух по колу

Відповідь: h_min = 17,5 m

Умова у верхній точці

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон збереження енергії

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·7 = 17,5 m

Відповідь

h_min = 17,5 m

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 1,044 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 8 cm = 0,08 m

½kx² = ½·800·0,08² = 2,56 J

Висота

m·g = 0,25·9,81 = 2,453 N

h = ½kx²/(mg) = 2,56/2,453 = 1,044 m

Відповідь

h = 1,044 m

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 55,68 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 39,24·(5 − 0,3·3,5) = 155 J

Найбільше стиснення

½kx² = 155 → x = √(2·155/1000) = 0,5568 m = 55,68 cm

Відповідь

x = 55,68 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 2,133 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (4 − 3,5)/(4 + 3,5)·2 = 0,1333 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 3,5)·2 = 2,133 m/s

Відповідь

v′₂ = 2,133 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 63 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,15·(5 + 16) = 3,15 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 3,15/0,05 = 63 N

Відповідь

F_avg = 63 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,4472 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(50/4) = 3,536 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 3,536·√(0,14² − 0,06²) = 0,4472 m/s

Відповідь

v = 0,4472 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 2,45 J

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(250/3,7) = 8,22 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·250·0,14² = 2,45 J

Відповідь

E = 2,45 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 388,7 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 400·(343 − 0)/(343 + 10)

f′ = 388,7 Hz

Відповідь

f′ = 388,7 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: y₁ = 6,875 mm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між смугами

Δy = λL/d = 550 × 10⁻⁹·2,5/(0,2 × 10⁻³) = 6,875 mm

Смуга номер 1

y₁ = 1·6,875 = 6,875 mm

Відповідь

y₁ = 6,875 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics