Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 90 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 0,9 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 4,5 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 90 km/ht_r = 0,9 sa = −4,5 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1,5 m/s² протягом 4 s, потім їде зі сталою швидкістю 9 s і нарешті гальмує з прискоренням 4,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повний час руху t.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 9 sa₃ = −4,5 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 13 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 13 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 4 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 4 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 30° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 20 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 32 m/s під кутом 45° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 45 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 32 m/sθ = 45°h = 45 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 0,8 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 30° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 0,8 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 4 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 1 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_bottom траси на візок у нижній точці петлі.

m = 2,5 kgh = 4 mR = 1 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 110 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,7. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 110 km/hμ = 0,7g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 3 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,4). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 4 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 3 m.

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgμ = 0,4d = 3 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 1 kg, що рухається зі швидкістю 3 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 1 kgm₂ = 5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,4 kg ударяється об стіну зі швидкістю 20 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 18 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,4 kgv_in = 20 m/sv_out = 18 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 2,9 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 2,9 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 2,2 s і амплітудою 12 cm. За який найменший час t воно переміститься з положення рівноваги до зміщення 8,4 cm?

T = 2,2 sA = 12 cmx = 8,4 cm

t = s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: довжина 1 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₃ для моди «гармоніка номер 3».

v = 343 m/sn = 3L = 1 m

f₃ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 405 нм падає під прямим кутом на ґратку з 400 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₃ максимуму порядку 3.

N = 400 mm⁻¹λ = 405 nmm = 3

θ₃ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 91,94 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 90/3,6 = 25 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 25·0,9 = 22,5 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·4,5) = 69,44 m

Разом

d = 22,5 + 69,44 = 91,94 m

Відповідь

d = 91,94 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 14,33 s

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1,5·4 = 6 m/s

Час гальмування

t₃ = v/a₃ = 6/4,5 = 1,333 s

Загальний час

t = 4 + 9 + 1,333 = 14,33 s

Відповідь

t = 14,33 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,206 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,2·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1732) = 3,206 m/s²

Відповідь

a = 3,206 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 18,11 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 7,848)/6,5 = 2,566 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·2,566 + 7,848 = 18,11 N

Відповідь

T = 18,11 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 35,31 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 30° = 17,32 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 30° = 10 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·10/9,81 = 2,039 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 17,32·2,039 = 35,31 m

Відповідь

x = 35,31 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 71,1 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 32·sin 45° = 22,63 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 22,63²/(2·9,81) = 26,1 m

Висота над землею

H = 45 + 26,1 = 71,1 m

Відповідь

H = 71,1 m

7.Рух по колу

Відповідь: T = 1,67 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 0,8·sin 30° = 0,4 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,4·9,81·tan 30°) = 1,505 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·0,4/1,505 = 1,67 s

Відповідь

T = 1,67 s

8.Рух по колу

Відповідь: N_bottom = 220,7 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·4 = 78,48 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R + m·g = 2,5·78,48/1 + 24,53 = 220,7 N

Відповідь

N_bottom = 220,7 N

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 67,98 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 110/3,6 = 30,56 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30,56²/(2·0,7·9,81) = 67,98 m

Відповідь

d = 67,98 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 4,852 m/s

Вивільнена й втрачена енергія

m₂g·d = 39,24·3 = 117,7 J

μ·m₁g·d = 0,4·29,43·3 = 35,32 J

Кінетична енергія обох брусків

½(m₁ + m₂)v² = 82,4 → v = √(2·82,4/7) = 4,852 m/s

Відповідь

v = 4,852 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = −2 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (1 − 5)/(1 + 5)·3 = −2 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 5)·3 = 1 m/s

Відповідь

v′₁ = −2 m/s

Знак мінус означає, що перший візок відскакує назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 15,2 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,4·(18 + 20) = 15,2 N·s

Відповідь

J = 15,2 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 2,09 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,9/2π)² = 2,09 m

Відповідь

L = 2,09 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,2715 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/2,2 = 2,856 rad/s

Виразіть час

0,7 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0,7) = 0,7754 rad

t = 0,7754/2,856 = 0,2715 s

Відповідь

t = 0,2715 s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₃ = 514,5 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·1/3 = 0,6667 m

Частота

f = v/λ = 343/0,6667 = 514,5 Hz

Відповідь

f₃ = 514,5 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₃ = 29,08 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/400 mm = 2,5 × 10⁻⁶ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 3·405 × 10⁻⁹/(2,5 × 10⁻⁶) = 0,486

θ = 29,08°

Відповідь

θ₃ = 29,08°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics