Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 26 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 6 m/s². На якій відстані від точки старту поліцейський автомобіль наздожене порушника? Знайдіть d.

v_car = 26 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 38 m/s² протягом 2,5 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 38 m/s²t₁ = 2,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 18 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 30° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 18 kgθ = 30°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 8 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 8 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 70° над горизонталлю, і він падає на відстані 140 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 70°R = 140 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 15 m/s під кутом 45° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 40 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 15 m/sθ = 45°h = 40 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Рух по колуСередня

Автомобіль масою 1500 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 8 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 95 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 1500 kgv = 8 m/sr = 95 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 5,8 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 2 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_bottom траси на візок у нижній точці петлі.

m = 2 kgh = 5,8 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

N_bottom = N

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 0,5 kg висить на легкій нитці завдовжки 1 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 30° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 0,5 kgL = 1 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4,5 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 1500 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 0,5 kgh = 4,5 mL = 4,5 mμ = 0,15k = 1500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 9 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 36 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 1 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 49 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 8 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 9 kgu = 36 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 49 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 12 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 3,5 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,7 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 10° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 12 gM = 3,5 kgL = 1,7 mθ = 10°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 3,9 kg на пружині з k = 170 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 6 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 1 cm від положення рівноваги.

m = 3,9 kgk = 170 N/mA = 6 cmx = 1 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Тіло здійснює гармонічні коливання з періодом 1,3 s і амплітудою 7 cm. За який найменший час t воно переміститься з максимального зміщення 7 cm до зміщення 5,6 cm?

T = 1,3 sA = 7 cmx = 5,6 cm

t = s

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Джерело частотою 600 Гц рухається зі швидкістю 20 м/с від нерухомого спостерігача. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 600 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Паркувальний датчик у стані спокою посилає ультразвук 40 кГц до автомобіля, що наближається зі швидкістю 25 м/с. Знайдіть частоту f″ відлуння, прийнятого датчиком (швидкість звуку 343 м/с).

f = 40 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 225,3 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·26/6 = 8,667 s

Шлях

d = v·t = 26·8,667 = 225,3 m

Відповідь

d = 225,3 m

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 52 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 578,7 m

Активна ділянка

v₁ = 38·2,5 = 95 m/s

h₁ = ½·38·2,5² = 118,8 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 95²/(2·9,81) = 460 m

h_max = 118,8 + 460 = 578,7 m

Відповідь

h_max = 578,7 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,206 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 30° − 0,2·cos 30°) = 9,81·(0,5 − 0,1732) = 3,206 m/s²

Відповідь

a = 3,206 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,621 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 15,7)/11,5 = 1,621 m/s²

Відповідь

a = 1,621 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 46,22 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·140/sin 140°) = 46,22 m/s

Відповідь

v₀ = 46,22 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 70,5 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 15·cos 45° = 10,61 m/s

v_y0 = 15·sin 45° = 10,61 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(10,61² + 2·9,81·40) = 29,95 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 29,95/10,61 → α = 70,5°

Відповідь

α = 70,5°

7.Рух по колу

Відповідь: N = 13704 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r

N = 1500·9,81 − 1500·8²/95 = 14715 − 1011 = 13704 N

Відповідь

N = 13704 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: N_bottom = 133,4 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·5,8 = 113,8 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R + m·g = 2·113,8/2 + 19,62 = 133,4 N

Відповідь

N_bottom = 133,4 N

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 6,219 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·1·(1 − cos 30°) = 2,629 m²/s²

Сили внизу

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

T = mg + mv²/L = 4,905 + 0,5·2,629/1 = 6,219 N

Відповідь

T = 6,219 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 6,219 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 15,82 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 4,905·(4,5 − 0,15·4,5) = 18,76 J

Найбільше стиснення

½kx² = 18,76 → x = √(2·18,76/1500) = 0,1582 m = 15,82 cm

Відповідь

x = 15,82 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 34,38 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 9·36 = 324 kg·m/s

Імпульс після удару

324 = 1·49 + 8·v′₂

v′₂ = (324 − 49)/8 = 34,38 m/s

Відповідь

v′₂ = 34,38 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 208,3 m/s

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,7·(1 − cos 10°) = 0,02583 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,02583) = 0,7118 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 3,512·0,7118/0,012 = 208,3 m/s

Відповідь

v = 208,3 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,3906 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(170/3,9) = 6,602 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 6,602·√(0,06² − 0,01²) = 0,3906 m/s

Відповідь

v = 0,3906 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: t = 0,1331 s

Кутова частота

ω = 2π/T = 2π/1,3 = 4,833 rad/s

Виразіть час

0,8 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,8) = 0,6435 rad

t = 0,6435/4,833 = 0,1331 s

Відповідь

t = 0,1331 s

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 566,9 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 600·(343 − 0)/(343 + 20)

f′ = 566,9 Hz

Відповідь

f′ = 566,9 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f″ = 46289 Hz

Частота біля автомобіля

f′ = 40000·(343 + 25)/343 = 42915 Hz

Частота відлуння

f″ = f′·343/(343 − 25) = 46289 Hz

Відповідь

f″ = 46289 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics