Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 100 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,1 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 100 km/ht_r = 1,1 sa = −4 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 5 m/s з краю даху на висоті 10 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 5 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 4 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 4 kgθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1,5 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 7 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 34 m/s під кутом 45° над горизонталлю в бік стіни на відстані 47 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 34 m/sθ = 45°x = 47 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 27 m/s під кутом 25° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 60 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 27 m/sθ = 25°h = 60 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 65 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,4. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 65 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,5 kg на нитці завдовжки 1,1 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 6 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,5 kgr = 1,1 mv = 6 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 10 kg ковзає 7 m похилою площиною під кутом 15° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,1. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 10 kgθ = 15°μ = 0,1d = 7 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 4000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 5 kgh = 1,5 mL = 2 mμ = 0,25k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 5 kg, що рухається зі швидкістю 4 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 5 kgm₂ = 4,5 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

На перехресті автомобіль масою 800 kg, що їде на схід зі швидкістю 14 m/s, зіштовхується з автомобілем масою 1000 kg, що їде на північ зі швидкістю 8 m/s. Автомобілі зчіплюються. Знайдіть напрямок θ руху уламків одразу після зіткнення, відрахований від сходу в бік півночі.

m₁ = 800 kgv₁ = 14 m/s (E)m₂ = 1000 kgv₂ = 8 m/s (N)

θ = °

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 1,2 m має період 3,57 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 1,2 mT = 3,57 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 10 g, що летить зі швидкістю 250 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 3 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 1900 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 10 gv = 250 m/sM = 3 kgk = 1900 N/m

A = cm

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Джерело частотою 1000 Гц рухається зі швидкістю 10 м/с від нерухомого спостерігача. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 25 см перед увігнуте дзеркалом із радіусом кривини 60 см. Знайдіть відстань до зображення d_i: додатну для зображення перед дзеркалом (дійсного) і від’ємну для зображення за ним (уявного).

d_o = 25 cmR = 60 cm

d_i = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 127 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 100/3,6 = 27,78 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 27,78·1,1 = 30,56 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 27,78²/(2·4) = 96,45 m

Разом

d = 30,56 + 96,45 = 127 m

Відповідь

d = 127 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 2,026 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−10 = 5·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 5·t − 10 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (5 + √(5² + 2·9,81·10))/9,81 = 2,026 s

Відповідь

t = 2,026 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,823 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 35° − 0,1·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,08192) = 4,823 m/s²

Відповідь

a = 4,823 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 12,12 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 0)/8,5 = 1,731 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 7·1,731 + 0 = 12,12 N

Відповідь

T = 12,12 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 28,25 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 34·cos 45° = 24,04 m/s

t = x/v_x = 47/24,04 = 1,955 s

Висота в цей момент

y = 24,04·1,955 − ½·9,81·1,955² = 28,25 m

Відповідь

y = 28,25 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 66,64 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 27·sin 25° = 11,41 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 11,41²/(2·9,81) = 6,636 m

Висота над землею

H = 60 + 6,636 = 66,64 m

Відповідь

H = 66,64 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 15,97 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·65) = 15,97 m/s

Відповідь

v_max = 15,97 m/s (57,49 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 63,81 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,5·9,81 + 1,5·6²/1,1 = 14,71 + 49,09 = 63,81 N

Відповідь

T = 63,81 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 66,33 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 98,1·0,9659 = 94,76 N

F = μN = 0,1·94,76 = 9,476 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 9,476·7 = 66,33 J

Відповідь

W_f = 66,33 J

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 15,66 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 49,05·(1,5 − 0,25·2) = 49,05 J

Найбільше стиснення

½kx² = 49,05 → x = √(2·49,05/4000) = 0,1566 m = 15,66 cm

Відповідь

x = 15,66 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 4,211 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (5 − 4,5)/(5 + 4,5)·4 = 0,2105 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4,5)·4 = 4,211 m/s

Відповідь

v′₂ = 4,211 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: θ = 35,54 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Складові імпульсу

p_x = 800·14 = 11200 kg·m/s

p_y = 1000·8 = 8000 kg·m/s

Напрямок

tan θ = p_y/p_x = 0,7143 → θ = 35,54°

Відповідь

θ = 35,54°

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 3,717 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,2/3,57² = 3,717 m/s²

Відповідь

g = 3,717 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: A = 3,306 cm

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,01·250/3,01 = 0,8306 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1900/3,01) = 25,12 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 0,8306/25,12 = 0,03306 m = 3,306 cm

Відповідь

A = 3,306 cm

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 971,7 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 1000·(343 − 0)/(343 + 10)

f′ = 971,7 Hz

Відповідь

f′ = 971,7 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = −150 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Фокусна відстань

f = R/2 = 30 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/25

d_i = −150 cm

Хід променів

уявне зображення за дзеркалом

Відповідь

d_i = −150 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics