Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 60 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 7 m/s² до повної зупинки. Скільки триває гальмування? Знайдіть t.

v₀ = 60 km/ha = −7 m/s²v = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Кульку A відпускають без початкової швидкості з висоти 25 m. Тієї самої миті кульку B кидають вертикально вгору з землі точно під нею зі швидкістю 29 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Коли кульки зустрінуться? Знайдіть t.

H = 25 mv_0B = 29 m/sg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 19 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 35° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 19 kgθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 3,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 3 kgm₂ = 3,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 28 m/s, і він має впасти на відстані 35 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 28 m/sR = 35 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з вершини скелі висотою 5 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 28 m/sθ = 55°h = 5 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 145 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,6. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 145 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,3 kg на легкій нитці завдовжки 0,6 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 10,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 0,3 kgr = 0,6 mv_bottom = 10,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Кулька 5 kg висить на легкій нитці завдовжки 1 m. Її відводять убік, доки нитка не утворить кут 90° з вертикаллю, і відпускають без початкової швидкості. Знайдіть силу натягу T нитки, коли кулька проходить найнижчу точку.

m = 5 kgL = 1 mθ = 90°g = 9,81 m/s²

T = N

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 10 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 1 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1,5 m (μ = 0,2), а потім натрапляє на пружину (k = 1000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 10 kgh = 1 mL = 1,5 mμ = 0,2k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 0,5 kg, що рухається зі швидкістю 12 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 3,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 3,5 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,1 kg ударяється об стіну зі швидкістю 9 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 8 m/s. Контакт триває 50 ms. Знайдіть модуль імпульсу сили J, який стіна надає м’ячу.

m = 0,1 kgv_in = 9 m/sv_out = 8 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,5 kg на пружині з k = 420 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 5 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 1 cm від положення рівноваги.

m = 1,5 kgk = 420 N/mA = 5 cmx = 1 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Куля масою 10 g, що летить зі швидкістю 500 m/s, влучає й застрягає в бруску масою 4 kg, що лежить на поверхні без тертя. Брусок прикріплений до горизонтальної пружини з k = 1700 N/m. Знайдіть амплітуду A коливань, що виникають, у cm.

m = 10 gv = 500 m/sM = 4 kgk = 1700 N/m

A = cm

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Струна, закріплена з обох кінців: довжина 0,5 м, хвилі поширюються зі швидкістю 200 м/с. Знайдіть частоту f₅ для моди «гармоніка номер 5».

v = 200 m/sn = 5L = 0,5 m

f₅ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Ґратка з 500 лініями на міліметр показує максимум порядку 1 спектральної лінії під кутом 19,1° до напрямку прямого проходження. Знайдіть довжину хвилі λ цієї лінії.

N = 500 mm⁻¹θ₁ = 19,1°m = 1

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 2,381 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Час гальмування

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 16,67/7 = 2,381 s

Відповідь

t = 2,381 s

2.Кінематика

Відповідь: t = 0,8621 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Час зустрічі

Напрямок угору додатний, земля — y = 0.

25 − ½g·t² = 29·t − ½g·t² → t = 25/29 = 0,8621 s

Відповідь

t = 0,8621 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,02 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 35° − 0,2·cos 35°) = 9,81·(0,5736 − 0,1638) = 4,02 m/s²

Відповідь

a = 4,02 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 17,43 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34,34 − 2,943)/6,5 = 4,83 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3·4,83 + 2,943 = 17,43 N

Відповідь

T = 17,43 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 12,99 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·35/28² = 0,4379

Кут

2θ = 25,97° → θ = 12,99°

Відповідь

θ = 12,99°

Інший розв’язок 90° − θ = 77,01°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,885 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 28·cos 55° = 16,06 m/s

v_y = v₀·sin θ = 28·sin 55° = 22,94 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 5 + 22,94·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (22,94 + √(526,1 + 98,1))/9,81 = 4,885 s

Відповідь

t = 4,885 s

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 29,21 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·145) = 29,21 m/s

Відповідь

v_max = 29,21 m/s (105,2 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 40,41 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 10,5² − 4·9,81·0,6 = 86,71 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,3·86,71/0,6 − 0,3·9,81 = 40,41 N

Відповідь

T_top = 40,41 N

9.Робота й енергія

Відповідь: T = 147,2 N

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). При русі по колу рівнодійна сила, спрямована до центра, має дорівнювати mv²/r.

Швидкість унизу

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9,81·1·(1 − cos 90°) = 19,62 m²/s²

Сили внизу

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

T = mg + mv²/L = 49,05 + 5·19,62/1 = 147,2 N

Відповідь

T = 147,2 N

Перевірка: T = mg(3 − 2cos θ) = 147,2 N.

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 37,06 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 98,1·(1 − 0,2·1,5) = 68,67 J

Найбільше стиснення

½kx² = 68,67 → x = √(2·68,67/1000) = 0,3706 m = 37,06 cm

Відповідь

x = 37,06 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 3 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (0,5 − 3,5)/(0,5 + 3,5)·12 = −9 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 3,5)·12 = 3 m/s

Відповідь

v′₂ = 3 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: J = 1,7 N·s

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,1·(8 + 9) = 1,7 N·s

Відповідь

J = 1,7 N·s

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,8198 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(420/1,5) = 16,73 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 16,73·√(0,05² − 0,01²) = 0,8198 m/s

Відповідь

v = 0,8198 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: A = 6,056 cm

Швидкість після удару

V = m·v/(m + M) = 0,01·500/4,01 = 1,247 m/s

Кутова частота

ω = √(k/(m + M)) = √(1700/4,01) = 20,59 rad/s

Амплітуда

A = V/ω = 1,247/20,59 = 0,06056 m = 6,056 cm

Відповідь

A = 6,056 cm

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₅ = 1000 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,5/5 = 0,2 m

Частота

f = v/λ = 200/0,2 = 1000 Hz

Відповідь

f₅ = 1000 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 654,4 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = d·sin θ/m = 2 × 10⁻⁶·sin 19,1°/1 = 654,4 nm

Відповідь

λ = 654,4 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics