Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 45 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,4 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 4 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 45 km/ht_r = 1,4 sa = −4 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1,5 m/s² протягом 6 s, потім їде зі сталою швидкістю 27 s і нарешті гальмує з прискоренням 3,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 6 st₂ = 27 sa₃ = −3,5 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 4 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 25° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,15. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 4 kgθ = 25°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 35° зі швидкістю 5,5 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 5,5 m/sθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 65° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 26 m/sθ = 65°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 55° до горизонту з вершини скелі висотою 15 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 17 m/sθ = 55°h = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 100 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,5. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 100 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 0,7 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 0,7 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 40° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,35. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 15 m вздовж площини.

θ = 40°μ = 0,35d = 15 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 1 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 4,5 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 4000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 1 kgh = 4 mL = 4,5 mμ = 0,25k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 10 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 8 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 5 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 43 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 5 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 10 kgu = 8 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 43 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,45 kg ударяється об стіну зі швидкістю 11 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 15 m/s. Контакт триває 20 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,45 kgv_in = 11 m/sv_out = 15 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 0,6 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 0,6 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 1,7 kg на пружині з k = 40 N/m відтягують на 17 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 1,7 kgk = 40 N/mA = 17 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 65 дБ на відстані 10 м від нього. Знайдіть рівень β₂ на відстані 50 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.

β₁ = 65 dBr₁ = 10 mr₂ = 50 m

β₂ = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Паркувальний датчик у стані спокою посилає ультразвук 20 кГц до автомобіля, що наближається зі швидкістю 15 м/с. Знайдіть частоту f″ відлуння, прийнятого датчиком (швидкість звуку 343 м/с).

f = 20 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 37,03 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 45/3,6 = 12,5 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 12,5·1,4 = 17,5 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 12,5²/(2·4) = 19,53 m

Разом

d = 17,5 + 19,53 = 37,03 m

Відповідь

d = 37,03 m

2.Кінематика

Відповідь: s = 281,6 m

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1,5·6 = 9 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·1,5·6² = 27 m

s₂ = 9·27 = 243 m

s₃ = 9²/(2·3,5) = 11,57 m

Повна відстань

s = 27 + 243 + 11,57 = 281,6 m

Відповідь

s = 281,6 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,812 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 25° − 0,15·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,1359) = 2,812 m/s²

Відповідь

a = 2,812 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 2,352 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 35° + 0,1·cos 35°) = 6,43 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 5,5²/(2·6,43) = 2,352 m

Відповідь

d = 2,352 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 4,804 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 65° = 10,99 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 65° = 23,56 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·23,56/9,81 = 4,804 s

Відповідь

t = 4,804 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 3,672 s

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 17·cos 55° = 9,751 m/s

v_y = v₀·sin θ = 17·sin 55° = 13,93 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 15 + 13,93·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (13,93 + √(193,9 + 294,3))/9,81 = 3,672 s

Відповідь

t = 3,672 s

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 22,15 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·100) = 22,15 m/s

Відповідь

v_max = 22,15 m/s (79,73 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 2,62 m/s

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,7) = 2,62 m/s

Відповідь

v_min = 2,62 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 10,5 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·15·(0,6428 − 0,35·0,766)) = 10,5 m/s

Відповідь

v = 10,5 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 7,51 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 9,81·(4 − 0,25·4,5) = 28,2 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,875) = 7,51 m/s

Відповідь

v = 7,51 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −27 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Імпульс до удару

p = M·u = 10·8 = 80 kg·m/s

Імпульс після удару

80 = 5·43 + 5·v′₂

v′₂ = (80 − 215)/5 = −27 m/s

Відповідь

v′₂ = −27 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 585 N

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,45·(15 + 11) = 11,7 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 11,7/0,02 = 585 N

Відповідь

F_avg = 585 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 1,554 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(0,6/9,81) = 1,554 s

Відповідь

T = 1,554 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 0,578 J

Кутова частота

ω = √(40/1,7) = 4,851 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·40·0,17² = 0,578 J

Відповідь

E = 0,578 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β₂ = 51,02 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Відношення інтенсивностей

I₂/I₁ = (10/50)² = 0,04

Новий рівень

β₂ = 65 + 10·log₁₀(0,04) = 51,02 dB

Відповідь

β₂ = 51,02 dB

Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f″ = 21829 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Частота біля автомобіля

f′ = 20000·(343 + 15)/343 = 20875 Hz

Частота відлуння

f″ = f′·343/(343 − 15) = 21829 Hz

Відповідь

f″ = 21829 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics