Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що їде зі швидкістю 54 km/h, гальмує зі сталим сповільненням 4,5 m/s² до повної зупинки. Знайдіть гальмівний шлях s.

v₀ = 54 km/ha = −4,5 m/s²v = 0

s = m

2.КінематикаСкладна

Модель ракети запускають вертикально вгору зі стану спокою. Двигун надає їй сталого прискорення вгору 38 m/s² протягом 2,5 s, після чого вимикається, і ракета рухається вільно. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту h_max, якої досягає ракета.

a = 38 m/s²t₁ = 2,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 10 m/s і зупиняється, пройшовши 100 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 10 m/sd = 100 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 7 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 4 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 7 kgm₂ = 4 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 20° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть час польоту t до удару м’яча об землю.

v₀ = 10 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

t = s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 17 m/s під кутом 55° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 50 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 17 m/sθ = 55°h = 50 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 0,9 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 20° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 0,9 mθ = 20°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Кульку на нитці завдовжки 0,9 m обертають по вертикальному колу. Візьміть g = 9,81 m/s². За якої найменшої швидкості v_min у верхній точці нитка ще залишається натягнутою?

r = 0,9 mg = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.Робота й енергіяСередня

Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 16 m вздовж площини.

θ = 20°μ = 0,2d = 16 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Робота й енергіяСкладна

Пружину жорсткістю 800 N/m біля підніжжя схилу 20° стискають на 15 cm бруском масою 0,5 kg і відпускають. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і схилом 0,15. На яку відстань d угору схилом від точки відпускання переміститься брусок до зупинки? (Нехтуйте короткою ділянкою, на якій діє пружина, тобто враховуйте тертя й силу тяжіння на всій відстані d.)

m = 0,5 kgk = 800 N/mx = 15 cmθ = 20°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 4,5 kg, що рухається зі швидкістю 9 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 0,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Куля масою 5 g, випущена горизонтально, влучає в брусок масою 4 kg, підвішений на легких нитках завдовжки 1,5 m, і застрягає в ньому. Нитки відхиляються на найбільший кут 30° від вертикалі. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v кулі до удару.

m = 5 gM = 4 kgL = 1,5 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,7 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,7 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,9 kg на пружині з k = 330 N/m відтягують на 6 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 2,9 kgk = 330 N/mA = 6 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, закрита з одного кінця: основна частота (перша гармоніка) має становити 71 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть довжину L труби.

v = 343 m/sn = 1f₁ = 71 Hz

L = m

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 10 см перед опукле дзеркалом із радіусом кривини 20 см. Знайдіть збільшення m (від’ємне для перевернутого зображення).

d_o = 10 cmR = 20 cm

m =

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: s = 25 m

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Одиниці

v₀ = 54/3,6 = 15 m/s

Гальмівний шлях

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·4,5) = 25 m

Відповідь

s = 25 m

2.Кінематика

Відповідь: h_max = 578,7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активна ділянка

v₁ = 38·2,5 = 95 m/s

h₁ = ½·38·2,5² = 118,8 m

Вільний політ угору

У найвищій точці швидкість дорівнює нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 95²/(2·9,81) = 460 m

h_max = 118,8 + 460 = 578,7 m

Відповідь

h_max = 578,7 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,05097

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 10²/(2·100) = 0,5 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,5/9,81 = 0,05097

Відповідь

μ = 0,05097

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,319 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 13,73)/11 = 2,319 m/s²

Відповідь

a = 2,319 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: t = 0,6973 s

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 20° = 9,397 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 20° = 3,42 m/s

Час польоту

Старт і приземлення на одній висоті: t = 2v_y/g.

t = 2·3,42/9,81 = 0,6973 s

Відповідь

t = 0,6973 s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 74,12 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 17·cos 55° = 9,751 m/s

v_y0 = 17·sin 55° = 13,93 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(13,93² + 2·9,81·50) = 34,28 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 34,28/9,751 → α = 74,12°

Відповідь

α = 74,12°

7.Рух по колу

Відповідь: T = 1,845 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 0,9·sin 20° = 0,3078 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,3078·9,81·tan 20°) = 1,048 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·0,3078/1,048 = 1,845 s

Відповідь

T = 1,845 s

8.Рух по колу

Відповідь: v_min = 2,971 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Нульовий натяг у верхній точці

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·0,9) = 2,971 m/s

Відповідь

v_min = 2,971 m/s

9.Робота й енергія

Відповідь: v = 6,955 m/s

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергетичний баланс уздовж площини

Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·16·(0,342 − 0,2·0,9397)) = 6,955 m/s

Відповідь

v = 6,955 m/s

10.Робота й енергія

Відповідь: d = 3,799 m

Енергія пружини

x = 15 cm = 0,15 m

½kx² = ½·800·0,15² = 9 J

Енергетичний баланс уздовж площини

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 9/(4,905·(0,342 + 0,15·0,9397)) = 3,799 m

Відповідь

d = 3,799 m

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 16,2 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (4,5 − 0,5)/(4,5 + 0,5)·9 = 7,2 m/s

v′₂ = 2·4,5/(4,5 + 0,5)·9 = 16,2 m/s

Відповідь

v′₂ = 16,2 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v = 1591 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Підйом бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,5·(1 − cos 30°) = 0,201 m

Швидкість після удару

V = √(2·9,81·0,201) = 1,986 m/s

Зіткнення

v = (m + M)·V/m = 4,005·1,986/0,005 = 1591 m/s

Відповідь

v = 1591 m/s

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,7181 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,7/2π)² = 0,7181 m

Відповідь

L = 0,7181 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 6,828 m/s²

Кутова частота

ω = √(330/2,9) = 10,67 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,06·10,67² = 6,828 m/s²

Відповідь

a_max = 6,828 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: L = 1,208 m

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 343/71 = 4,831 m

Довжина

L = nλ/4 = 1·4,831/4 = 1,208 m

Відповідь

L = 1,208 m

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: m = 0,5

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Фокусна відстань

f = −R/2 = −10 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/10

d_i = −5 cm

Збільшення

m = −(−5)/10 = 0,5

Відповідь

m = 0,5

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics