Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Автомобіль, що мчить зі сталою швидкістю 30 m/s, проїжджає повз нерухомий поліцейський автомобіль. У цей момент поліцейський автомобіль рушає й рівноприскорено розганяється з прискоренням 5,5 m/s². Скільки часу знадобиться поліцейському автомобілю, щоб наздогнати порушника? Знайдіть t.

v_car = 30 m/sa_police = 5,5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КінематикаСкладна

Камінь відпускають без початкової швидкості в колодязь. Сплеск чути через 2,4 s після того, як камінь відпустили. Швидкість звуку 343 m/s; нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть глибину d колодязя.

t_total = 2,4 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 35 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 30° над горизонталлю із силою 120 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 35 kgF = 120 Nθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 5,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2,5 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,25. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 5,5 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,25g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають під кутом 35° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть максимальну висоту H, якої досягає м’яч.

v₀ = 32 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 40° до горизонту з вершини скелі висотою 5 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 29 m/sθ = 40°h = 5 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 1,2 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 50° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 1,2 mθ = 50°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,3 kg на легкій нитці завдовжки 0,7 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 6,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 0,3 kgr = 0,7 mv_bottom = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 50 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 50 km/hμ = 0,8g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 4 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,1), а потім натрапляє на пружину (k = 5000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 4 kgh = 4 mL = 3,5 mμ = 0,1k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 2 kg, що рухається зі швидкістю 2 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 4 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 2 kgm₂ = 4 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 800 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1700 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 12 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,5. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 800 kgm₂ = 1700 kgd = 12 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Довжина математичного маятника 2,3 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть його період T для малих коливань.

L = 2,3 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 290 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 17 cm. Знайдіть енергію U, накопичену в пружині, коли вантаж на відстані 5 cm від положення рівноваги.

k = 290 N/mA = 17 cmx = 5 cm

U = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, закрита з одного кінця: гармоніка номер 5 має становити 1072 Гц. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть довжину L труби.

v = 343 m/sn = 5f₅ = 1072 Hz

L = m

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 633 нм проходить крізь одну щілину шириною 0,05 мм. Знайдіть кут θ₃ темної смуги номер 3 відносно напрямку прямого проходження.

λ = 633 nma = 0,05 mmm = 3

θ₃ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: t = 10,91 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Однакові відстані

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·30/5,5 = 10,91 s

Відповідь

t = 10,91 s

У цей момент поліцейський автомобіль рухається зі швидкістю 2v = 60 m/s.

2.Кінематика

Відповідь: d = 26,47 m

Дві частини часу

½·9,81·t₁² = 343·(2,4 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 823,2 = 0

Час падіння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·823,2))/(2·4,905) = 2,323 s

Глибина

d = ½·9,81·2,323² = 26,47 m

Відповідь

d = 26,47 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,16 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 343,4 − 120·sin 30° = 283,4 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 103,9 − 28,34

a = 75,59/35 = 2,16 m/s²

Відповідь

a = 2,16 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 21,08 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 13,49)/8 = 1,38 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5,5·1,38 + 13,49 = 21,08 N

Відповідь

T = 21,08 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 17,17 m

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 35° = 26,21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 35° = 18,35 m/s

Найвища точка

Угорі вертикальна швидкість дорівнює нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 18,35²/(2·9,81) = 17,17 m

Відповідь

H = 17,17 m

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 90,02 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 29·cos 40° = 22,22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 29·sin 40° = 18,64 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 5 + 18,64·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18,64 + √(347,5 + 98,1))/9,81 = 4,052 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 22,22·4,052 = 90,02 m

Відповідь

x = 90,02 m

7.Рух по колу

Відповідь: T = 1,762 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 1,2·sin 50° = 0,9193 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,9193·9,81·tan 50°) = 3,278 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·0,9193/3,278 = 1,762 s

Відповідь

T = 1,762 s

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 3,392 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 6,5² − 4·9,81·0,7 = 14,78 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,3·14,78/0,7 − 0,3·9,81 = 3,392 N

Відповідь

T_top = 3,392 N

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 12,29 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 50/3,6 = 13,89 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 13,89²/(2·0,8·9,81) = 12,29 m

Відповідь

d = 12,29 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 8,462 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 39,24·(4 − 0,1·3,5) = 143,2 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·3,65) = 8,462 m/s

Відповідь

v = 8,462 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 1,333 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (2 − 4)/(2 + 4)·2 = −0,6667 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 4)·2 = 1,333 m/s

Відповідь

v′₂ = 1,333 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 33,91 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·12) = 10,85 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·10,85/800 = 33,91 m/s

Відповідь

v₁ = 33,91 m/s

(122,1 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: T = 3,042 s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Період маятника

T = 2π·√(2,3/9,81) = 3,042 s

Відповідь

T = 3,042 s

14.Пружини й маятники

Відповідь: U = 0,3625 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·290·0,17² = 4,191 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·290·0,05² = 0,3625 J

Відповідь

U = 0,3625 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: L = 0,4 m

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі

λ = v/f = 343/1072 = 0,32 m

Довжина

L = nλ/4 = 5·0,32/4 = 0,4 m

Відповідь

L = 0,4 m

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₃ = 2,177 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Умова темної смуги

sin θ = mλ/a = 0,03798

θ = 2,177°

Відповідь

θ₃ = 2,177°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics