Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 280 km/h, а довжина злітної смуги 1900 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1900 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 16 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 16 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 9 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 9 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 3,5 kg на похилій площині з кутом 20° з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя на вершині площини, з підвішеним вантажем масою 2,5 kg. Підвішений вантаж рухається вниз. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і площиною 0,1. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 2,5 kgθ = 20°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 12 m/s, і він має впасти на відстані 5 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 12 m/sR = 5 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 28 m/s під кутом 15° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 40 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?

v₀ = 28 m/sθ = 15°h = 40 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Рух по колуСередня

Маленька кулька на нитці завдовжки 0,3 m рухається по горизонтальному колу так, що нитка утворює сталий кут 25° з вертикаллю (конічний маятник). Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть час T одного оберту.

L = 0,3 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 0,9 kg на легкій нитці завдовжки 1,1 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 8 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 0,9 kgr = 1,1 mv_bottom = 8 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 110 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,6. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 110 km/hμ = 0,6g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 2,5 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 4000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 5 kgh = 2 mL = 2,5 mμ = 0,25k = 4000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 4 kg, що рухається зі швидкістю 5 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 0,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 4 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1300 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1000 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 11,5 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,5. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1300 kgm₂ = 1000 kgd = 11,5 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,6 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,6 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 3,5 kg на пружині з k = 310 N/m відтягують на 15 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 3,5 kgk = 310 N/mA = 15 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Труба, відкрита з обох кінців: довжина 0,6 м. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f₅ для моди «гармоніка номер 5».

v = 343 m/sn = 5L = 0,6 m

f₅ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві щілини на відстані 0,2 мм одна від одної освітлено монохроматичним світлом. На екрані на відстані 2,5 м світла смуга номер 3 лежить на 23,74 мм від центральної смуги. Знайдіть довжину хвилі λ.

d = 0,2 mmL = 2,5 my₃ = 23,74 mmm = 3

λ = nm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 1,592 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·1900) = 1,592 m/s²

Відповідь

a = 1,592 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: t = 4,227 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−20 = 16·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 16·t − 20 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (16 + √(16² + 2·9,81·20))/9,81 = 4,227 s

Відповідь

t = 4,227 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 2,433 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 20° − 0,1·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,09397) = 2,433 m/s²

Відповідь

a = 2,433 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,593 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сили вздовж нитки

m₂·g = 24,53 N

m₁·g·sin θ = 11,74 N

μ·m₁·g·cos θ = 3,226 N

Прискорення системи

a = (24,53 − 11,74 − 3,226)/6 = 1,593 m/s²

Відповідь

a = 1,593 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 9,957 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·5/12² = 0,3406

Кут

2θ = 19,91° → θ = 9,957°

Відповідь

θ = 9,957°

Інший розв’язок 90° − θ = 80,04°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: α = 46,93 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 28·cos 15° = 27,05 m/s

v_y0 = 28·sin 15° = 7,247 m/s

Вертикальна швидкість у момент удару

Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.

v_y = √(7,247² + 2·9,81·40) = 28,94 m/s

Кут удару

tan α = v_y/v_x = 28,94/27,05 → α = 46,93°

Відповідь

α = 46,93°

7.Рух по колу

Відповідь: T = 1,046 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Радіус кола

r = L·sin θ = 0,3·sin 25° = 0,1268 m

Швидкість

Сила натягу й сила тяжіння разом дають силу, спрямовану до центра: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,1268·9,81·tan 25°) = 0,7616 m/s

Період

T = 2π·r/v = 2π·0,1268/0,7616 = 1,046 s

Відповідь

T = 1,046 s

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 8,219 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 8² − 4·9,81·1,1 = 20,84 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0,9·20,84/1,1 − 0,9·9,81 = 8,219 N

Відповідь

T_top = 8,219 N

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 79,31 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 110/3,6 = 30,56 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30,56²/(2·0,6·9,81) = 79,31 m

Відповідь

d = 79,31 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 5,194 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 49,05·(2 − 0,25·2,5) = 67,44 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,375) = 5,194 m/s

Відповідь

v = 5,194 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 8,889 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (4 − 0,5)/(4 + 0,5)·5 = 3,889 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 0,5)·5 = 8,889 m/s

Відповідь

v′₂ = 8,889 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 18,79 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·11,5) = 10,62 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2300·10,62/1300 = 18,79 m/s

Відповідь

v₁ = 18,79 m/s

(67,65 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,6361 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,6/2π)² = 0,6361 m

Відповідь

L = 0,6361 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 3,487 J

Кутова частота

ω = √(310/3,5) = 9,411 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·310·0,15² = 3,487 J

Відповідь

E = 3,487 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f₅ = 1429 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Довжина хвилі цієї моди

λ = 2L/n = 2·0,6/5 = 0,24 m

Частота

f = v/λ = 343/0,24 = 1429 Hz

Відповідь

f₅ = 1429 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: λ = 633,1 nm

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Довжина хвилі

λ = y·d/(mL) = 0,02374·0,0002/(3·2,5) = 6,331 × 10⁻⁷ m = 633,1 nm

Відповідь

λ = 633,1 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics