Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Для зльоту літаку потрібна швидкість 200 km/h, а довжина злітної смуги 1000 m. Яке стале прискорення a йому потрібне, якщо він рушає з місця?

v₀ = 0v = 200 km/hs = 1000 m

a = m/s²

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 1,5 m/s² протягом 5 s, потім їде зі сталою швидкістю 15 s і нарешті гальмує з прискоренням 3,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повну відстань s між двома зупинками.

a₁ = 1,5 m/s²t₁ = 5 st₂ = 15 sa₃ = −3,5 m/s²

s = m

3.Закони НьютонаСередня

Санки масою 20 kg тягнуть рівним снігом за мотузку під кутом 30° над горизонталлю із силою 80 N. Коефіцієнт тертя ковзання 0,4. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a санок.

m = 20 kgF = 80 Nθ = 30°μ = 0,4g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Бруску надають поштовху, і він починає ковзати вгору похилою площиною з кутом 35° зі швидкістю 4 m/s. Коефіцієнт тертя ковзання 0,3. Прийміть g = 9,81 m/s². Яку відстань d уздовж площини він пройде до зупинки?

v₀ = 4 m/sθ = 35°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

d = m

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 32 m/s, і він має впасти на відстані 95 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 32 m/sR = 95 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 39 m/s під кутом 60° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 23 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 39 m/sθ = 60°h_roof = 23 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 90 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 90 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,4 kg на нитці завдовжки 1,3 m обертають по вертикальному колу. У нижній точці її швидкість 6,5 m/s. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки в нижній точці.

m = 1,4 kgr = 1,3 mv = 6,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Робота й енергіяСередня

Іграшкова пускова установка має вертикальну пружину жорсткістю 1000 N/m. На неї кладуть кульку 0,15 kg, стискають пружину на 4 cm і відпускають. Нехтуючи опором повітря й масою пружини, знайдіть висоту h, на яку піднімається кулька, відраховану від її положення при стиснутій пружині.

m = 0,15 kgk = 1000 N/mx = 4 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 4 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1 m (μ = 0,15), а потім натрапляє на пружину (k = 5000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть найбільше стиснення x пружини.

m = 0,5 kgh = 4 mL = 1 mμ = 0,15k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3,5 kg, що рухається зі швидкістю 3 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 2,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₂ другого візка після зіткнення.

m₁ = 3,5 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,1 kg ударяється об стіну зі швидкістю 15 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 18 m/s. Контакт триває 50 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,1 kgv_in = 15 m/sv_out = 18 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Астронавт на іншій планеті з’ясовує, що математичний маятник завдовжки 0,5 m має період 1,49 s за малих коливань. Знайдіть прискорення вільного падіння g на цій планеті.

L = 0,5 mT = 1,49 s

g = m/s²

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,9 kg на пружині з k = 370 N/m відтягують на 18 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 2,9 kgk = 370 N/mA = 18 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Світло всередині прозорого блока повністю відбивається на межі із середовищем «гліцерин» (n = 1,47) для будь-якого кута падіння понад 40°. Знайдіть показник заломлення n₁ блока.

θ_c = 40°n₂ = 1,47

n₁ =

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Оптичне волокно має осердя з n₁ = 1,62 і оболонку з n₂ = 1,61. Знайдіть найбільший кут θ_a до осі волокна, під яким світло з повітря може увійти в торець волокна й усе одно направлятися повним внутрішнім відбиттям.

n₁ = 1,62n₂ = 1,61n₀ = 1,00

θ_a = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: a = 1,543 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v = 200/3,6 = 55,56 m/s

Прискорення

a = v²/(2s) = 55,56²/(2·1000) = 1,543 m/s²

Відповідь

a = 1,543 m/s²

2.Кінематика

Відповідь: s = 139,3 m

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 1,5·5 = 7,5 m/s

Шлях на кожному етапі

s₁ = ½·1,5·5² = 18,75 m

s₂ = 7,5·15 = 112,5 m

s₃ = 7,5²/(2·3,5) = 8,036 m

Повна відстань

s = 18,75 + 112,5 + 8,036 = 139,3 m

Відповідь

s = 139,3 m

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 0,3401 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сила нормальної реакції

N = m·g − F·sin θ = 196,2 − 80·sin 30° = 156,2 N

Горизонтальні сили

m·a = F·cos θ − μ·N = 69,28 − 62,48

a = 6,802/20 = 0,3401 m/s²

Відповідь

a = 0,3401 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: d = 0,9953 m

Сповільнення

Обидві сили спрямовані вниз схилом; маса скорочується.

a = 9,81·(sin 35° + 0,3·cos 35°) = 8,038 m/s²

Шлях

d = v₀²/(2a) = 4²/(2·8,038) = 0,9953 m

Відповідь

d = 0,9953 m

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 32,76 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·95/32² = 0,9101

Кут

2θ = 65,52° → θ = 32,76°

Відповідь

θ = 32,76°

Інший розв’язок 90° − θ = 57,24°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 119,3 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 19,5 m/s, v_y = 33,77 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

23 = 33,77·t − 4,905·t²

t = (33,77 + √(33,77² − 2·9,81·23))/9,81 = 6,12 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 19,5·6,12 = 119,3 m

Відповідь

x = 119,3 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 24,86 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·90) = 24,86 m/s

Відповідь

v_max = 24,86 m/s (89,5 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: T = 59,23 N

Сили в нижній точці

До центра (угору) — додатний напрямок.

T − m·g = m·v²/r

T = 1,4·9,81 + 1,4·6,5²/1,3 = 13,73 + 45,5 = 59,23 N

Відповідь

T = 59,23 N

9.Робота й енергія

Відповідь: h = 0,5437 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Енергія пружини

x = 4 cm = 0,04 m

½kx² = ½·1000·0,04² = 0,8 J

Висота

m·g = 0,15·9,81 = 1,472 N

h = ½kx²/(mg) = 0,8/1,472 = 0,5437 m

Відповідь

h = 0,5437 m

10.Робота й енергія

Відповідь: x = 8,691 cm

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 4,905·(4 − 0,15·1) = 18,88 J

Найбільше стиснення

½kx² = 18,88 → x = √(2·18,88/5000) = 0,08691 m = 8,691 cm

Відповідь

x = 8,691 cm

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = 3,5 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3,5 − 2,5)/(3,5 + 2,5)·3 = 0,5 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 2,5)·3 = 3,5 m/s

Відповідь

v′₂ = 3,5 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 66 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,1·(18 + 15) = 3,3 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 3,3/0,05 = 66 N

Відповідь

F_avg = 66 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: g = 8,891 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Знайдіть g

g = 4π²·L/T² = 4π²·0,5/1,49² = 8,891 m/s²

Відповідь

g = 8,891 m/s²

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 5,994 J

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(370/2,9) = 11,3 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·370·0,18² = 5,994 J

Відповідь

E = 5,994 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: n₁ = 2,287

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Показник заломлення блока

n₁ = n₂/sin θc = 1,47/0,6428 = 2,287

Відповідь

n₁ = 2,287

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ_a = 10,35 °

Критичний кут на оболонці

sin θc = 1,61/1,62 = 0,9938 → θc = 83,63°

Числова апертура

NA = √(1,62² − 1,61²) = 0,1797

Кут прийому

θ_a = arcsin(0,1797) = 10,35°

Відповідь

θ_a = 10,35°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics