Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 1,75 m/s². Знайдіть його швидкість v через 1000 m.

v₀ = 0a = 1,75 m/s²s = 1000 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

Трамвай рушає з місця й розганяється з прискоренням 2 m/s² протягом 9 s, потім їде зі сталою швидкістю 24 s і нарешті гальмує з прискоренням 4,5 m/s² до зупинки. Знайдіть повний час руху t.

a₁ = 2 m/s²t₁ = 9 st₂ = 24 sa₃ = −4,5 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 9 kg ковзає вниз похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,2. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 9 kgθ = 20°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 4 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 4 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a системи.

m₁ = 4 kgm₂ = 4 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч б’ють з рівної землі зі швидкістю 36 m/s під кутом 55° над горизонталлю в бік стіни на відстані 37 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². На якій висоті y м’яч пролітає повз стіну?

v₀ = 36 m/sθ = 55°x = 37 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають зі швидкістю 24 m/s під кутом 55° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 10 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу висоту H над землею біля підніжжя скелі.

v₀ = 24 m/sθ = 55°h = 10 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль масою 1600 kg проїжджає вершину горбка на дорозі зі швидкістю 22 m/s. Вершина горбка — дуга кола радіусом 75 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N дороги на автомобіль на вершині.

m = 1600 kgv = 22 m/sr = 75 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,1 kg на легкій нитці завдовжки 0,6 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 12 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,1 kgr = 0,6 mv_bottom = 12 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль, що рухається зі швидкістю 90 km/h рівною дорогою, різко гальмує й зупиняється юзом із заблокованими колесами. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,4. Знайдіть гальмівний шлях d.

v = 90 km/hμ = 0,4g = 9,81 m/s²

d = m

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2,5 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 3 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 3,5 m (μ = 0,3), а потім натрапляє на пружину (k = 2000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 2,5 kgh = 3 mL = 3,5 mμ = 0,3k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3,5 kg, що рухається зі швидкістю 10 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 1,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 3,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

М’яч масою 0,35 kg ударяється об стіну зі швидкістю 16 m/s і відскакує прямо назад зі швидкістю 13 m/s. Контакт триває 25 ms. Знайдіть середню силу F_avg, з якою стіна діє на м’яч.

m = 0,35 kgv_in = 16 m/sv_out = 13 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 1,1 kg на пружині з k = 70 N/m відтягують на 9 cm у додатному напрямку й відпускають без початкової швидкості при t = 0. Знайдіть його зміщення x від положення рівноваги при t = 0,4 s (зі знаком).

m = 1,1 kgk = 70 N/mA = 9 cmt = 0,4 s

x = cm

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 0,4 kg на пружині з k = 260 N/m відтягують на 13 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть повну енергію E коливань.

m = 0,4 kgk = 260 N/mA = 13 cm

E = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Мале джерело випромінює звук однаково в усіх напрямках. Рівень становить 95 дБ на відстані 1 м від нього. Знайдіть рівень β₂ на відстані 3 м, нехтуючи поглинанням і відбиттями.

β₁ = 95 dBr₁ = 1 mr₂ = 3 m

β₂ = dB

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Світло з довжиною хвилі 600 нм падає під прямим кутом на ґратку з 1200 лініями на міліметр. Знайдіть кут θ₁ максимуму порядку 1.

N = 1200 mm⁻¹λ = 600 nmm = 1

θ₁ = °

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 59,16 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·1,75·1000) = 59,16 m/s

Відповідь

v = 59,16 m/s

(213 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: t = 37 s

Найбільша швидкість

v = a₁·t₁ = 2·9 = 18 m/s

Час гальмування

t₃ = v/a₃ = 18/4,5 = 4 s

Загальний час

t = 9 + 24 + 4 = 37 s

Відповідь

t = 37 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 1,512 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 20° − 0,2·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,1879) = 1,512 m/s²

Відповідь

a = 1,512 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: a = 4,905 m/s²

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 0)/8 = 4,905 m/s²

Відповідь

a = 4,905 m/s²

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: y = 37,09 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Час до стіни

v_x = 36·cos 55° = 20,65 m/s

t = x/v_x = 37/20,65 = 1,792 s

Висота в цей момент

y = 29,49·1,792 − ½·9,81·1,792² = 37,09 m

Відповідь

y = 37,09 m

Біля стіни м’яч ще піднімається.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: H = 29,7 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Початкова вертикальна швидкість

v_y = 24·sin 55° = 19,66 m/s

Підйом над скелею

Δh = v_y²/(2g) = 19,66²/(2·9,81) = 19,7 m

Висота над землею

H = 10 + 19,7 = 29,7 m

Відповідь

H = 29,7 m

7.Рух по колу

Відповідь: N = 5371 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили у верхній точці

Напрямок до центра (униз) додатний.

m·g − N = m·v²/r

N = 1600·9,81 − 1600·22²/75 = 15696 − 10325 = 5371 N

Відповідь

N = 5371 N

Автомобіль стає «легшим»: дорога тисне вгору менше за його вагу.

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 210 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 12² − 4·9,81·0,6 = 120,5 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,1·120,5/0,6 − 1,1·9,81 = 210 N

Відповідь

T_top = 210 N

9.Робота й енергія

Відповідь: d = 79,64 m

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Швидкість в основних одиницях

v = 90/3,6 = 25 m/s

Енергетичний баланс

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0,4·9,81) = 79,64 m

Відповідь

d = 79,64 m

Подвоєння швидкості збільшує гальмівний шлях учетверо.

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 6,185 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 24,53·(3 − 0,3·3,5) = 47,82 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·1,95) = 6,185 m/s

Відповідь

v = 6,185 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 4 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3,5 − 1,5)/(3,5 + 1,5)·10 = 4 m/s

v′₂ = 2·3,5/(3,5 + 1,5)·10 = 14 m/s

Відповідь

v′₁ = 4 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: F_avg = 406 N

Зміна імпульсу

J = m·Δv = 0,35·(13 + 16) = 10,15 N·s

Середня сила

F_avg = J/Δt = 10,15/0,025 = 406 N

Відповідь

F_avg = 406 N

13.Пружини й маятники

Відповідь: x = −8,989 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(70/1,1) = 7,977 rad/s

ω·t = 7,977·0,4 = 3,191 rad

Переміщення

x = A·cos(ω·t) = 9·cos(3,191) = −8,989 cm

Відповідь

x = −8,989 cm

14.Пружини й маятники

Відповідь: E = 2,197 J

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(260/0,4) = 25,5 rad/s

Енергія

E = ½·k·A² = ½·260·0,13² = 2,197 J

Відповідь

E = 2,197 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: β₂ = 85,46 dB

Хвилі: періодична хвиля проходить одну довжину хвилі за один період, тож v = fλ, де T = 1/f. На натягнутій струні v = √(T/μ), де T — натяг, а μ = m/L — маса на метр. Звук у повітрі поширюється зі швидкістю близько 343 м/с за 20 °C, світло у вакуумі — зі швидкістю c = 3,00 × 10⁸ м/с. Гучність вимірюють за логарифмічною шкалою: β = 10·log₁₀(I/I₀) дБ, де I₀ = 10⁻¹² Вт/м², тож десятикратна інтенсивність додає 10 дБ. Точкове джерело розподіляє потужність P по сфері: I = P/(4πr²).

Відношення інтенсивностей

I₂/I₁ = (1/3)² = 0,1111

Новий рівень

β₂ = 95 + 10·log₁₀(0,1111) = 85,46 dB

Відповідь

β₂ = 85,46 dB

Кожне подвоєння відстані знижує рівень приблизно на 6 дБ.

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: θ₁ = 46,05 °

Інтерференція та дифракція: світло від двох щілин на відстані d одна від одної досягає точки на екрані з різницею ходу d·sin θ. Світлі смуги з’являються там, де d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Для екрана на відстані L ≫ d m-та світла смуга міститься в y = mλL/d, а відстань між смугами Δy = λL/d. Ґратка з N лініями на міліметр має d = 1/N і різкі максимуми за d·sin θ = mλ; оскільки sin θ ≤ 1, найвищий порядок — найбільше ціле число m ≤ d/λ. Одна щілина шириною a має темні смуги за a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Відстань між лініями

d = 1/1200 mm = 8,333 × 10⁻⁷ m

Рівняння ґратки

sin θ = mλ/d = 1·600 × 10⁻⁹/(8,333 × 10⁻⁷) = 0,72

θ = 46,05°

Відповідь

θ₁ = 46,05°

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics