Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Літак рушає з місця й рівноприскорено розганяється злітною смугою з прискоренням 3,75 m/s². Знайдіть його швидкість v через 900 m.

v₀ = 0a = 3,75 m/s²s = 900 m

v = m/s

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 12 m/s з краю даху на висоті 25 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 25 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Брусок масою 5 kg ковзає вниз гладкою похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть прискорення a бруска вздовж площини.

m = 5 kgθ = 20°μ = 0g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 2,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 1 kg. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском і столом 0,3. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 1 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі зі швидкістю 14 m/s, і він має впасти на відстані 10 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть менший із двох можливих кутів кидання θ.

v₀ = 14 m/sR = 10 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають під кутом 30° до горизонту з вершини скелі висотою 45 m. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.

v₀ = 24 m/sθ = 30°h = 45 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

Автомобіль проходить горизонтальний поворот радіусом 50 m. Коефіцієнт тертя спокою між шинами й дорогою 0,7. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найбільшу швидкість v_max, з якою автомобіль може пройти поворот без заносу.

r = 50 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Рух по колуСкладна

Візок масою 1,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 6,45 m на трасі без тертя, і він проходить вертикальну петлю радіусом 1,5 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу нормальної реакції N_top траси на візок у верхній точці петлі.

m = 1,5 kgh = 6,45 mR = 1,5 mg = 9,81 m/s²

N_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Автомобіль масою 2000 kg піднімається схилом 4° зі сталою швидкістю 90 km/h. Опір повітря й опір коченню разом становлять 550 N. Знайдіть потужність P, яку мають передавати колеса, у kW.

m = 2000 kgθ = 4°F_r = 550 Nv = 90 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Робота й енергіяСкладна

Брусок масою 2 kg відпускають без початкової швидкості на висоті 2,5 m на гладкій рампі. Унизу він перетинає шорстку горизонтальну смугу довжиною 1,5 m (μ = 0,25), а потім натрапляє на пружину (k = 5000 N/m) на гладкій поверхні. Знайдіть швидкість v бруска, коли він досягає пружини.

m = 2 kgh = 2,5 mL = 1,5 mμ = 0,25k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Снаряд масою 5 kg, що рухається горизонтально зі швидкістю 5 m/s, розривається на два уламки, які рухаються вздовж тієї самої прямої. Уламок масою 2 kg продовжує рух уперед зі швидкістю 52 m/s. Знайдіть швидкість v′₂ уламка масою 3 kg (додатна в початковому напрямку).

M = 5 kgu = 5 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 52 m/sm₂ = 3 kg

v′₂ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1800 kg налітає на припаркований автомобіль масою 2000 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 10 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,8. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1800 kgm₂ = 2000 kgd = 10 mμ = 0,8g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Вантаж масою 3,4 kg на пружині з k = 200 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 6 cm. Знайдіть його швидкість v, коли він на відстані 4 cm від положення рівноваги.

m = 3,4 kgk = 200 N/mA = 6 cmx = 4 cm

v = m/s

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж масою 2,2 kg на пружині з k = 310 N/m відтягують на 15 cm від положення рівноваги й відпускають. Знайдіть його найбільше прискорення a_max.

m = 2,2 kgk = 310 N/mA = 15 cm

a_max = m/s²

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Джерело частотою 440 Гц рухається зі швидкістю 15 м/с до нерухомого спостерігача. Швидкість звуку — 343 м/с. Знайдіть частоту f′, яку чує спостерігач.

f = 440 Hzv = 343 m/sv_s = 15 m/s

f′ = Hz

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Дві тонкі лінзи мають спільну вісь і розташовані на відстані 60 см одна від одної: лінза 1 з f₁ = 10 см і лінза 2 з f₂ = −20 см. Предмет стоїть на відстані 40 см перед лінзою 1. Знайдіть положення d_i2 кінцевого зображення, виміряне від лінзи 2 (додатне за лінзою 2, правило «дійсне — додатне»).

f₁ = 10 cmf₂ = −20 cms = 60 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: v = 82,16 m/s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Швидкість після проходження відстані

v = √(2·a·s) = √(2·3,75·900) = 82,16 m/s

Відповідь

v = 82,16 m/s

(295,8 km/h)

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,791 s

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−25 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 25 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·25))/9,81 = 3,791 s

Відповідь

t = 3,791 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: a = 3,355 m/s²

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Сили вздовж площини

Униз уздовж площини — додатний напрямок.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Прискорення

a = 9,81·(sin 20° − 0·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0) = 3,355 m/s²

Відповідь

a = 3,355 m/s²

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 9,109 N

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (9,81 − 7,357)/3,5 = 0,7007 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2,5·0,7007 + 7,357 = 9,109 N

Відповідь

T = 9,109 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: θ = 15,02 °

Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = v_xt і y = h + v_yt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.

Формула дальності

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·10/14² = 0,5005

Кут

2θ = 30,03° → θ = 15,02°

Відповідь

θ = 15,02°

Інший розв’язок 90° − θ = 74,98°.

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 93,32 m

Розкладіть початкову швидкість

Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 30° = 20,78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 30° = 12 m/s

Час польоту

Розв’яжіть y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 і візьміть додатний корінь.

0 = 45 + 12·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12 + √(144 + 882,9))/9,81 = 4,49 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 20,78·4,49 = 93,32 m

Відповідь

x = 93,32 m

7.Рух по колу

Відповідь: v_max = 18,53 m/s

Рівномірний рух по колу: тіло, що рухається зі швидкістю v по колу радіуса r, має прискорення a = v²/r, спрямоване до центра, тож на нього має діяти спрямована до центра рівнодійна сила F = m·v²/r. Цю силу створює щось реальне: тертя, натяг, сила тяжіння або сила нормальної реакції.

Тертя створює доцентрову силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·50) = 18,53 m/s

Відповідь

v_max = 18,53 m/s (66,71 km/h)

8.Рух по колу

Відповідь: N_top = 52,97 N

Швидкість із закону збереження енергії

v² = 2·9,81·(6,45 − 2·1,5) = 67,69 m²/s²

Сили

Напрямок до центра додатний.

N = m·v²/R − m·g = 1,5·67,69/1,5 − 14,71 = 52,97 N

Відповідь

N_top = 52,97 N

9.Робота й енергія

Відповідь: P = 47,97 kW

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d). Потужність — це сила, помножена на швидкість: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 2000·9,81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 4° = 1369 N

F = 1369 + 550 = 1919 N

Потужність

v = 90/3,6 = 25 m/s

P = F·v = 1919·25 = 47966 W = 47,97 kW

Відповідь

P = 47,97 kW

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 6,457 m/s

Енергія після шорсткої смуги

Рампа гладка, тож енергію забирає лише смуга.

mgh − μmgL = 19,62·(2,5 − 0,25·1,5) = 41,69 J

Швидкість біля пружини

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·2,125) = 6,457 m/s

Відповідь

v = 6,457 m/s

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₂ = −26,33 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Імпульс до удару

p = M·u = 5·5 = 25 kg·m/s

Імпульс після удару

25 = 2·52 + 3·v′₂

v′₂ = (25 − 104)/3 = −26,33 m/s

Відповідь

v′₂ = −26,33 m/s

Знак мінус означає, що другий уламок летить назад.

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 26,45 m/s

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,8·9,81·10) = 12,53 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3800·12,53/1800 = 26,45 m/s

Відповідь

v₁ = 26,45 m/s

(95,22 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: v = 0,343 m/s

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Кутова частота

ω = √(200/3,4) = 7,67 rad/s

Швидкість у точці x

v = ω·√(A² − x²) = 7,67·√(0,06² − 0,04²) = 0,343 m/s

Відповідь

v = 0,343 m/s

14.Пружини й маятники

Відповідь: a_max = 21,14 m/s²

Кутова частота

ω = √(310/2,2) = 11,87 rad/s

Найбільше прискорення

a_max = A·ω² = 0,15·11,87² = 21,14 m/s²

Відповідь

a_max = 21,14 m/s²

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: f′ = 460,1 Hz

Стоячі хвилі та ефект Доплера: у струні, закріпленій з обох кінців, або в трубі, відкритій з обох кінців, вкладається ціле число півхвиль: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Труба, закрита з одного кінця, має вузол на закритому кінці й пучність на відкритому: L = nλ/4 лише для непарних n, f_n = n·v/(4L). Коли джерело або спостерігач рухаються вздовж лінії між ними, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): для руху назустріч один одному беріть верхні знаки. Дві хвилі з майже однаковою частотою дають биття з частотою |f₁ − f₂|.

Формула Доплера

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 440·(343 + 0)/(343 − 15)

f′ = 460,1 Hz

Відповідь

f′ = 460,1 Hz

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i2 = −14 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Зображення від лінзи 1

1/d_i1 = 1/10 − 1/40 → d_i1 = 13,33 cm

Предмет для лінзи 2

d_o2 = 60 − 13,33 = 46,67 cm

Кінцеве зображення

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/46,67 → d_i2 = −14 cm

Відповідь

d_i2 = −14 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics