Фізика 1: Механіка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 16 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Кінематика

Швидкість: v = v₀ + a·t
Переміщення: s = v₀·t + ½·a·t²
Без часу: v² = v₀² + 2·a·s
Одиниці: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Випишіть, що відомо: v₀, v, a, t і s, з одиницями.
Оберіть рівняння, що містить три відомі величини й невідому.
Оберіть один додатний напрямок і протилежно напрямленим величинам дайте знак мінус.
Розв’яжіть і перевірте, чи відповідь фізично розумна.

Закони Ньютона

Другий закон: ΣF = m·a
Вага: W = m·g
Тертя ковзання: F_f = μ·N
На похилій площині: уздовж: m·g·sin θ, по нормалі: m·g·cos θ

Метод

Накресліть розрахункову схему з усіма силами, що діють на тіло.
Оберіть додатний напрямок уздовж руху.
Розкладіть сили на складові вздовж руху й перпендикулярно до нього (на похилій площині: m·g·sin θ уздовж, m·g·cos θ перпендикулярно до площини).
Застосуйте ΣF = m·a уздовж руху; тертя μ·N напрямлене проти руху.

Рух тіла, кинутого під кутом

Складові: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положення: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальна висота: H = h + v_y²/(2g)
Дальність (рівна поверхня): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Розкладіть початкову швидкість на складові: v_x = v₀·cos θ і v_y = v₀·sin θ.
Горизонтальний рух відбувається зі сталою швидкістю; вертикальний — з прискоренням −g.
Знайдіть час польоту з вертикального руху.
Підставте цей час у горизонтальний рух, щоб знайти дальність.

Рух по колу

Доцентрове прискорення: a = v²/r = ω²·r
Доцентрова сила: F = m·v²/r
Кутова швидкість: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальний поворот, тертя: v_max = √(μ·g·r)

Робота й енергія

Кінетична енергія: E_k = ½mv²
Потенціальна енергія: E_p = mgh
Енергетичний баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Робота сили тертя: W = μ·N·d
Потужність: P = W/t

Імпульс і зіткнення

Імпульс: p = m·v
Збереження: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно непружний удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Імпульс сили: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Оберіть додатний напрямок і дайте кожній швидкості її знак.
Запишіть сумарний імпульс до зіткнення: Σm·v.
При абсолютно непружному зіткненні тіла після нього рухаються разом; при пружному зберігається також кінетична енергія.
Прирівняйте імпульс до зіткнення до імпульсу після й розв’яжіть.

Пружини й маятники

Вантаж на пружині: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Кутова частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Найбільші швидкість і прискорення: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Енергія: E = ½·k·A²

Хвилі, звук і оптика

Швидкість хвилі: v = fλ, T = 1/f
Струна: v = √(T/μ), μ = m/L
Рівень звуку: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Точкове джерело: I = P/(4πr²)
Стоячі хвилі: струна або відкрита труба f_n = n·v/(2L); закрита труба f_n = n·v/(4L), n непарне
Ефект Доплера: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Показник заломлення: n = c/v, λ = λ₀/n
Закон Снеліуса: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Критичний кут: sin θ_c = n₂/n₁
Оптичне волокно: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Лінзи та дзеркала: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Подвійна щілина: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Ґратка: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Одна щілина: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Метод

Визначте тип задачі: швидкість хвилі, рівень звуку, стояча хвиля, ефект Доплера, заломлення, лінза чи дзеркало або інтерференція.
Спершу запишіть співвідношення: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) або n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Переведіть одиниці: нм, мм і см у м, і перевірте, чи кути відлічено від нормалі.
Перевірте знаки та правдоподібність: уявне зображення має dᵢ < 0, джерело, що наближається, звучить вище, закрита труба має лише непарні гармоніки.

2Задачі для практики

1.КінематикаСередня

Водійка, що їде зі швидкістю 108 km/h, бачить перешкоду. Її час реакції 1,1 s, після чого автомобіль гальмує зі сталим сповільненням 7 m/s². Знайдіть повний гальмівний шлях d від моменту, коли вона побачила перешкоду.

v₀ = 108 km/ht_r = 1,1 sa = −7 m/s²

d = m

2.КінематикаСкладна

М’яч кидають вертикально вгору зі швидкістю 9 m/s з краю даху на висоті 20 m над землею. Опором повітря знехтуйте, g = 9,81 m/s². Через який час після кидка він упаде на землю? Знайдіть t.

v₀ = 9 m/sh₀ = 20 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Закони НьютонаСередня

Ящик ковзає рівною підлогою з початковою швидкістю 9 m/s і зупиняється, пройшовши 14 m. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть коефіцієнт тертя ковзання μ.

v₀ = 9 m/sd = 14 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Закони НьютонаСкладна

Брусок масою 9,5 kg на горизонтальному столі з’єднаний легкою ниткою, перекинутою через блок без тертя, з підвішеним вантажем масою 2 kg. Тертя об стіл немає. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T нитки.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 2 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.Рух тіла, кинутого під кутомСередня

М’яч кидають з рівної землі під кутом 60° над горизонталлю, і він падає на відстані 30 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть початкову швидкість v₀.

θ = 60°R = 30 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутомСкладна

М’яч кидають з рівня землі зі швидкістю 20 m/s під кутом 50° над горизонталлю. Він падає на пласкому даху будівлі заввишки 4 m, уже рухаючись униз. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть горизонтальну відстань x від точки кидання до місця падіння.

v₀ = 20 m/sθ = 50°h_roof = 4 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.Рух по колуСередня

В атракціоні «ротор» відвідувачі стоять біля стінки вертикального циліндра радіусом 3,7 m. Коли він обертається досить швидко, підлога опускається, а тертя утримує людей. Коефіцієнт тертя спокою 0,5. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть найменшу кутову швидкість ω у rad/s.

r = 3,7 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

ω = rad/s

8.Рух по колуСкладна

Кульку масою 1,1 kg на легкій нитці завдовжки 1,3 m обертають по вертикальному колу. У найнижчій точці її швидкість 9,5 m/s. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть силу натягу T_top нитки в найвищій точці.

m = 1,1 kgr = 1,3 mv_bottom = 9,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Робота й енергіяСередня

Брусок масою 4 kg ковзає 15 m похилою площиною під кутом 45° до горизонту з коефіцієнтом тертя ковзання 0,2. Знайдіть роботу W_f проти сили тертя.

m = 4 kgθ = 45°μ = 0,2d = 15 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Робота й енергіяСкладна

Візок масою 0,5 kg відпускають без початкової швидкості з висоти 13 m на гладкій трасі, що переходить у вертикальну петлю радіусом 5 m. Знайдіть швидкість v візка у верхній точці петлі.

m = 0,5 kgh = 13 mR = 5 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Імпульс і зіткненняСередня

Візок масою 3 kg, що рухається зі швидкістю 5 m/s, зазнає абсолютно пружного центрального удару з нерухомим візком масою 0,5 kg на доріжці без тертя. Знайдіть швидкість v′₁ першого візка після зіткнення (додатну в напрямку його початкового руху).

m₁ = 3 kgm₂ = 0,5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Імпульс і зіткненняСкладна

Автомобіль масою 1300 kg налітає на припаркований автомобіль масою 1200 kg. Уламки зчіплюються й ковзають 24 m до зупинки. Коефіцієнт тертя ковзання між шинами й дорогою 0,5. Прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть швидкість v₁ першого автомобіля безпосередньо перед зіткненням.

m₁ = 1300 kgm₂ = 1200 kgd = 24 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Пружини й маятникиСередня

Якої довжини має бути математичний маятник, щоб його період становив 1,5 s? Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть L.

T = 1,5 sg = 9,81 m/s²

L = m

14.Пружини й маятникиСкладна

Вантаж на пружині з k = 410 N/m коливається на поверхні без тертя з амплітудою 5 cm. Знайдіть його кінетичну енергію K, коли він на відстані 4 cm від положення рівноваги.

k = 410 N/mA = 5 cmx = 4 cm

K = J

15.Хвилі, звук і оптикаСередня

Предмет стоїть на відстані 20 см перед тонкою лінзою (збірна) з фокусною відстанню 10 см. Знайдіть відстань до зображення d_i. Користуйтеся правилом знаків 1/f = 1/d_o + 1/d_i (f < 0 для розсіювальної лінзи, d_i < 0 для уявного зображення).

d_o = 20 cmf = 10 cm

d_i = cm

16.Хвилі, звук і оптикаСкладна

Предмет розташований на відстані 40 см перед увігнуте дзеркалом із радіусом кривини 30 см. Знайдіть відстань до зображення d_i: додатну для зображення перед дзеркалом (дійсного) і від’ємну для зображення за ним (уявного).

d_o = 40 cmR = 30 cm

d_i = cm

3Розчини

1.Кінематика

Відповідь: d = 97,29 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Одиниці

v₀ = 108/3,6 = 30 m/s

Шлях за час реакції

d₁ = v₀·t_r = 30·1,1 = 33 m

Гальмівний шлях

d₂ = v₀²/(2a) = 30²/(2·7) = 64,29 m

Разом

d = 33 + 64,29 = 97,29 m

Відповідь

d = 97,29 m

2.Кінематика

Відповідь: t = 3,135 s

Рух зі сталим прискоренням: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² і v² = v₀² + 2·a·s. Виберіть рівняння, до якого входять три відомі величини й шукана, і стежте за знаками відносно одного додатного напрямку.

Рівняння руху

Угору — додатний напрямок, земля розташована на h₀ нижче від точки кидка.

−20 = 9·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 9·t − 20 = 0

Розв’яжіть квадратне рівняння

Фізичний зміст має лише додатний корінь.

t = (9 + √(9² + 2·9,81·20))/9,81 = 3,135 s

Відповідь

t = 3,135 s

3.Закони Ньютона

Відповідь: μ = 0,2949

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Сповільнення

a = v₀²/(2d) = 9²/(2·14) = 2,893 m/s²

Коефіцієнт тертя

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2,893/9,81 = 0,2949

Відповідь

μ = 0,2949

4.Закони Ньютона

Відповідь: T = 16,21 N

Другий закон Ньютона: рівнодійна сил, що діють на тіло, дорівнює добутку його маси на прискорення, ΣF = m·a. Накресліть розрахункову схему, виберіть додатний напрямок уздовж руху й додайте всі сили в цьому напрямку: прикладені сили, тертя μ·N проти руху та складові сили тяжіння.

Прискорення системи

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19,62 − 0)/11,5 = 1,706 m/s²

Натяг із рівняння для бруска на столі

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9,5·1,706 + 0 = 16,21 N

Відповідь

T = 16,21 N

5.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: v₀ = 18,43 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Виразіть v₀ з формули дальності

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·30/sin 120°) = 18,43 m/s

Відповідь

v₀ = 18,43 m/s

6.Рух тіла, кинутого під кутом

Відповідь: x = 36,46 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Розкладіть початкову швидкість

v_x = 12,86 m/s, v_y = 15,32 m/s

Час до падіння на дах

Більший корінь: м’яч опускається.

4 = 15,32·t − 4,905·t²

t = (15,32 + √(15,32² − 2·9,81·4))/9,81 = 2,836 s

Горизонтальна відстань

x = v_x·t = 12,86·2,836 = 36,46 m

Відповідь

x = 36,46 m

7.Рух по колу

Відповідь: ω = 2,303 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Сили, що діють на людину

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Кутова швидкість

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,5·3,7)) = 2,303 rad/s

Відповідь

ω = 2,303 rad/s

8.Рух по колу

Відповідь: T_top = 22,41 N

Швидкість у верхній точці

Кінетична енергія перетворюється на потенціальну на висоті 2r.

v_top² = 9,5² − 4·9,81·1,3 = 39,24 m²/s²

Сили у верхній точці

Сила натягу й сила тяжіння обидві спрямовані вниз, до центра.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,1·39,24/1,3 − 1,1·9,81 = 22,41 N

Відповідь

T_top = 22,41 N

9.Робота й енергія

Відповідь: W_f = 83,24 J

Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).

Сила тертя

N = mg·cos θ = 39,24·0,7071 = 27,75 N

F = μN = 0,2·27,75 = 5,549 N

Робота проти тертя

W_f = F·d = 5,549·15 = 83,24 J

Відповідь

W_f = 83,24 J

10.Робота й енергія

Відповідь: v = 7,672 m/s

Швидкість у верхній точці

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(13 − 10) = 58,86 m²/s²

v = 7,672 m/s

Відповідь

v = 7,672 m/s

Візок ледь проходить петлю при h = 2,5R; тоді у верхній точці N = 0.

11.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v′₁ = 3,571 m/s

Закон збереження імпульсу: якщо під час зіткнення зовнішні сили не діють, сумарний імпульс Σm·v до зіткнення дорівнює сумарному імпульсу після. Швидкість має напрямок, тож виберіть додатний напрямок, а швидкості, спрямовані в протилежний бік, беріть зі знаком мінус. У пружному зіткненні зберігається й кінетична енергія; в абсолютно непружному тіла злипаються.

Пружний удар об нерухоме тіло

Спільний розв’язок рівнянь збереження імпульсу й енергії дає ці два результати.

v′₁ = (3 − 0,5)/(3 + 0,5)·5 = 3,571 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 0,5)·5 = 8,571 m/s

Відповідь

v′₁ = 3,571 m/s

12.Імпульс і зіткнення

Відповідь: v₁ = 29,51 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Швидкість після зіткнення

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·24) = 15,34 m/s

Імпульс під час зіткнення

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2500·15,34/1300 = 29,51 m/s

Відповідь

v₁ = 29,51 m/s

(106,2 km/h)

13.Пружини й маятники

Відповідь: L = 0,5591 m

Гармонічні коливання: вантаж масою m на пружині жорсткістю k коливається з кутовою частотою ω = √(k/m) і періодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математичний маятник завдовжки L має період T = 2π·√(L/g). За амплітуди A найбільша швидкість дорівнює A·ω, найбільше прискорення — A·ω², а енергія — ½·k·A².

Виразіть довжину

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,5/2π)² = 0,5591 m

Відповідь

L = 0,5591 m

14.Пружини й маятники

Відповідь: K = 0,1845 J

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Повна енергія

E = ½·k·A² = ½·410·0,05² = 0,5125 J

Енергія пружини в точці x

U = ½·k·x² = ½·410·0,04² = 0,328 J

Кінетична енергія

K = 0,5125 − 0,328 = 0,1845 J

Відповідь

K = 0,1845 J

15.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = 20 cm

Геометрична оптика: на межі n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеліуса), кути відлічують від нормалі, а n = c/v. У повільнішому середовищі промінь заломлюється до нормалі. Із густішого середовища (n₁ > n₂) за межею критичного кута θ_c = arcsin(n₂/n₁) усе світло відбивається: повне внутрішнє відбиття. Тонкі лінзи та сферичні дзеркала підпорядковуються рівнянню 1/f = 1/d_o + 1/d_i зі збільшенням m = −d_i/d_o. Правило знаків: f > 0 для збірної лінзи й увігнутого дзеркала (f = R/2), f < 0 для розсіювальної лінзи й опуклого дзеркала; d_i > 0 для дійсного зображення, d_i < 0 для уявного, а m < 0 для перевернутого зображення.

Рівняння тонкої лінзи

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/20

d_i = 20 cm

Хід променів

дійсне, з іншого боку лінзи

Відповідь

d_i = 20 cm

16.Хвилі, звук і оптика

Відповідь: d_i = 24 cm

Фокусна відстань

f = R/2 = 15 cm

Рівняння дзеркала

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/40

d_i = 24 cm

Хід променів

дійсне зображення перед дзеркалом

Відповідь

d_i = 24 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics